Nella teoria delle probabilità il trasformato secondo Burkholder è un processo stocastico ottenuto a partire da una filtrazione e due processi e , che hanno le seguenti proprietà:
- è adattato rispetto a
- è prevedibile rispetto a
Per ogni la variabile aleatoria è così definita:
Si assume per ipotesi che le siano integrabili. Allora valgono i seguenti fatti:
(a) se è una -martingala, allora anche è una -martingala
(b) se è una -submartingala e , allora anche è una -submartingala
Si ricorda che il processo stocastico è una martingala se soddisfa le seguenti proprietà:
- è adattato rispetto a
- tutti gli sono integrabili
- , ossia la previsione condizionale di sapendo è pari a , per ogni
Se il processo è una submartingala il punto (3) deve verificare che
Osservando la formula del trasformato si ricava che:
- è -misurabile, in quanto il processo è adattato rispetto alla filtrazione
- è -misurabile, in quanto il processo è prevedibile rispetto alla filtrazione
- Da ciò ne segue che il prodotto è -misurabile e la somma fino a è -misurabile
Il punto (1) è verificato in quanto tutti gli sono -misurabili e ciò implica che tutto il processo è adattato rispetto a .
Il punto (2) è verificato per ipotesi.
Applicando la formula del trasformato si ha che
Dato che è -misurabile può uscire dalla previsione in quanto costante.
Essendo una -martingala si ha che per definizione e quindi anche (punto 3 verificato)
Nel caso in cui sia una submartingala e quindi anche (punto 3 verificato)
Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione, Milano, McGraw-Hill, 1998, ISBN 88-386-0737-0.
Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità, Milano, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6365-9.
Francesca Biagini, Massimo Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Milano, Springer, 2006, ISBN 88-470-0330-X.