Il teorema di sviluppabilità in serie bilatera, anche conosciuto come teorema di Laurent, permette di esplicitare qualsiasi funzione complessa come una serie bilatera.
Ip: Data una funzione
olomorfa in
, dove
è una singolarità isolata.
Th: Allora
Avendo a disposizione una corona circolare, ne costruisco un'altra all'interno, scegliendo un qualsiasi
all'interno di essa.
Quindi la nuova corona circolare sarà
. Prendo i bordi corona circolare e li chiamo
e
, dove la
è intesa come la corona circolare di raggio
. Dal Teorema integrale di Cauchy, so che:
con
la singolarità isolata.
è la curva composta da 4 pezzi: i due bordi della corona circolare più due trattini per chiudere la curva. Percorrendo i due trattini prima in un verso e poi nell'altro, si annullano a vicenda. Quindi il mio integrale diventa:
Il secondo integrale è negativo, poiché si percorre la curva in senso orario.
Al primo integrale applichiamo il seguente artifizio a
Quindi:
.
Racchiusa nella parentesi quadra è presente la serie geometrica con condizione
.
Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi
Al secondo integrale applichiamo un artifizio simile, sfruttando il meno davanti all'integrale.
Quindi:
.
Racchiusa nella parentisi quadra è presente la serie geometrica con condizione
.
Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi
Shiftando i parametri ottengo
I valori di
e
sono numeri, poiché sono le soluzioni degli integrali. Da notare come
è il valore del residuo di
in
, cioè
.