In analisi complessa, il residuo è un numero complesso che descrive il comportamento degli integrali di contorno di una funzione olomorfa intorno ad una singolarità isolata.
I residui vengono calcolati facilmente e sono uno strumento potente dell'analisi complessa, poiché permettono di valutare numerosi integrali attraverso il calcolo (generalmente più semplice) di alcune derivate, tramite il teorema dei residui.
Sia
un aperto del piano complesso
, e
un punto di
. Sia
![{\displaystyle f:\Omega \setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da12a7e8a1e8f9aa84b2a3b1f37de6b28cd1b1ca)
una funzione olomorfa che in
ha una singolarità isolata e quindi un unico sviluppo locale in serie di Laurent
![{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dc6deded6f8380c2b2530cfa8317d6fce959fd)
Il residuo di
in
è l'integrale di
lungo la circonferenza
diviso per
:
![{\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma _{r}}f(z)\,\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f79ce0fb12b7f376350875c647d4757c93034e)
dove il raggio
è preso sufficientemente piccolo da non contenere altre singolarità isolate. In modo equivalente, il residuo di
in
è il coefficiente
della serie di Laurent, e viene indicato con
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{z_{0}}f(z)=a_{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e416a100bb1f6a3953f58cb539267f9754db1ac2)
Il valore del residuo non dipende dal raggio del cerchio lungo il quale avviene l'integrazione, ma solo dal comportamento della funzione nel punto di singolarità.
Il residuo è importante perché determina l'integrale di
lungo una curva chiusa che abbia indice di avvolgimento uno intorno alla singolarità. Ad esempio, la curva
![{\displaystyle \gamma (t)=z_{0}+re^{2\pi it}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faaf64e3c96cb6a6f4827e9fc22ad128eb5ebbf9)
definita su
, per
sufficientemente piccolo in modo che il suo supporto sia effettivamente in
. Vale quindi
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{z_{0}}f(z)=a_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff896a53c0bdbd3f29626785f7b4a13be9b6ffd)
Infatti valgono le uguaglianze
![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z&=\oint _{\gamma }\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\,\mathrm {d} z\\&=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\oint _{\gamma }a_{n}(z-z_{0})^{n}\,\mathrm {d} z\\&=\oint _{\gamma }a_{-1}(z-z_{0})^{-1}\,\mathrm {d} z\\&=2\pi ia_{-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d823b6730d44e9f1add0e8a64e80d4157826ac)
Tutti i termini diversi da
infatti non contribuiscono all'integrale, poiché la funzione
ha una primitiva ben definita per ogni
maggiore di
, data da
mentre per ogni
minore di
l'integrale su linea chiusa è nullo anche se non ben definito per
L'ultima uguaglianza può essere calcolata direttamente, traslando in
per comodità:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\mathrm {d} z&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{re^{2\pi it}}}re^{2\pi it}\cdot 2\pi i\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{1}2\pi i\,\mathrm {d} t\\&=2\pi i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0500e0545e78f79a4faad0ac5a54caae4aa0fa8)
Il calcolo del residuo di una funzione
in un punto
risulta particolarmente semplice nel caso in cui la singolarità isolata
sia eliminabile o un polo. Se la singolarità è eliminabile allora il residuo è automaticamente zero, mentre se
è un polo di ordine k il residuo è:
![{\displaystyle a_{-1}={\frac {1}{(k-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1}}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left[(z-z_{0})^{k}\cdot f(z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd7f5d714dda6c422bebbaa4b6a333f3ec8cfa6)
e in particolare, se
è un polo semplice (cioè se k = 1), allora il residuo è semplicemente:
![{\displaystyle a_{-1}=\lim _{z\to z_{0}}[(z-z_{0})\cdot f(z)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb570dc783c5f99867f81f6babeab5b13a0d9ce)
Infatti la serie di Laurent si scrive come
![{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=-k}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e612b3aaa42ae83510eeb26cc4566d0267cc8b3)
ove
è l'ordine del polo. Ponendo
,
si ottiene una funzione analitica in
con sviluppo di Taylor
![{\displaystyle g(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314ccc68ee77e508bcdfb31f8e478ad0db49f5dc)
Confrontando il coefficiente del termine di grado k-1 delle due serie per g (z), risulta quindi
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{z_{0}}f(z)=a_{-1}={\frac {1}{(k-1)!}}g^{(k-1)}(z_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671e22cb252fc3891e19e1dd1fc08a81915b843e)
Una funzione olomorfa
è definita in un intorno dell'infinito
se esiste un
tale che l'aperto
contenga tutti gli
con modulo
. In questo caso, è definito il residuo all'infinito di
come
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }f(z)=-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b433faeb59f4215e2061615a335f5bd3d8decf)
dove
![{\displaystyle \gamma (t)=R'e^{2\pi it}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7083995101dd0557621e45c18ef062a9aa1b8b)
è una curva qualsiasi con
(il risultato non dipende da questa scelta).
In particolare, il residuo all'infinito può essere determinato come
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }f(z)=-\operatorname {Res} _{\omega =0}{\frac {1}{\omega ^{2}}}f\left({\frac {1}{\omega }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0bb0bbd6670bf3d60bc46aef821066e24971c7)
Tale relazione discende da un semplice cambio di variabile (o trasformazione conforme) che manda la variabile z nella sua inversa
. Segue allora che
![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint f(z)\,\mathrm {d} z&=-\oint _{\tilde {\gamma }}f\left({\frac {1}{\omega }}\right)\,\mathrm {d} \left({\frac {1}{\omega }}\right)\\&=\oint _{\tilde {\gamma }}{\frac {1}{\omega ^{2}}}f\left({\frac {1}{\omega }}\right)\,\mathrm {d} \omega ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee990a09185a49deff8ea8b6b8922f8d3f71539)
ove
![{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)={\frac {1}{R'}}e^{-2\pi it}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13155c2e1ae5f7071b81746f8143f3f9227d7974)
Risulta allora che la funzione ha un punto singolare isolato nella nuova variabile ω dove essa vale 0. Ad essa si applica allora il teorema dei residui, da cui discende la formula per il residuo all'infinito. Da notare che la rappresentazione sulla sfera di Riemann fornisce una rappresentazione potente della situazione matematica descritta.
Sia
,
.
Poiché
è olomorfa intorno a
, per ogni
, lo sviluppo di Laurent di
in
è lo sviluppo di Taylor, dunque
e dunque
se
.
Lo sviluppo di Laurent di
in
è
dunque
e allora
. Per
, considero la
e dunque
.
Sia
,
.
Mostrare che
se
,
e
.
Poiché
è olomorfa intorno a
, per ogni
, lo sviluppo di Laurent di
in
è lo sviluppo di Taylor, dunque
e dunque
se
, come nel caso precedente.
Lo sviluppo di Laurent di
in
è
dunque
e allora
. Per
, considero la
e dunque
.
Sia
,
.
perché
ha grado 2 ma i due poli in
hanno ciascuno molteplicità 1.