In matematica, in particolare in teoria della misura, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue.
Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati.
Il teorema di Radon–Nikodym afferma che se una misura
su uno spazio misurabile
è assolutamente continua rispetto ad una misura
sigma-finita sullo stesso spazio, allora esiste una funzione misurabile
definita su
a valori non negativi tale che:[1]
![{\displaystyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abb09a9003c68df912b34429036c62683d03e14)
per ogni insieme
.
Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso
e generalizzato da Otto Nikodym nel 1930.
La funzione
si dice derivata di Radon-Nikodym di
rispetto
e si indica con
.
La derivata di Radon-Nikodym gode delle seguenti proprietà:
- Se
e
allora:
![{\displaystyle {d(\nu +\lambda ) \over d\mu }={d\nu \over d\mu }+{d\lambda \over d\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7107c772e5ab3a0499ea65bd895414b00c1ab0c2)
- Se
allora:
![{\displaystyle {d\nu \over d\sigma }={d\nu \over d\mu }{d\mu \over d\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a649066bedd443893f1d5b8f8aa8c0a48f77915)
- Se g è una funzione
-integrabile su X e
, con
allora:
![{\displaystyle \int gd\nu =\int gfd\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0bb56324745fe06ff87f25f9c61c900dafb8ea)
![{\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5214252ad056d658b706fce50161e2e70a8d40ec)
La dimostrazione riportata nel seguito si svolge nell'ambito della teoria della misura. Esiste un'altra dimostrazione, dovuta a John von Neumann, ambientata in spazi di Hilbert.
Per mostrare l'esistenza della derivata di Radon-Nikodym, siano
e
misure finite non negative, e sia
l'insieme delle funzioni misurabili
che soddisfano:
![{\displaystyle \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)\qquad \forall A\in \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693da3e7bc8a77d3da0bf3641a0c916120b3112a)
L'insieme
non è vuoto, poiché contiene almeno la funzione nulla. Siano
,
un insieme misurabile e:
![{\displaystyle A_{1}=\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\}\qquad A_{2}=\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b1360f4f1a89a32ed26fd8d3a0efe6bc807573)
Allora si ha:
![{\displaystyle \int _{A}\max\{f_{1},f_{2}\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu (A_{1})+\nu (A_{2})=\nu (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f9ceaafb7fc7e11a2a71d12c6bc54edb443dc2)
e dunque
.
Sia ora
una successione di funzioni in
tali che:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fdc4efe40dddbc11dd9b455c1dd5543961a503)
Sostituendo
con il max delle prime n funzioni si può assumere che la successione
è crescente. Sia
la funzione definita come:
![{\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c559fe3ad3ceb2c8ec07b936f22dc0a4144b07)
Per mostrare che
è la funzione cercata, cioè che il suo integrale su
rispetto a
vale esattamente
, si nota che dal teorema della convergenza monotona per l'integrale di Lebesgue:
![{\displaystyle \int _{A}g\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu \leq \nu (A)\qquad \forall A\in \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9a188f9ddc77ab93c87b52c2b5088cc8bf897)
e quindi
. Inoltre, dalla costruzione di
segue:
![{\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042e2cb313347fb57ed2f987657fd471ea65d006)
Dato che
succede che la scrittura:
![{\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f124fc927e510c426fe241e550afb82d2748efe6)
definisce una misura non negativa su
. Supponendo quindi per assurdo
, dato che
è finita c'è un
tale che
. Sia allora
la decomposizione di Hahn per la misura con segno
. Per ogni
si ha:
![{\displaystyle \nu _{0}(A\cap P)\geq \varepsilon \mu (A\cap P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ded46d4dc4b869016558f384cd8f1f193fcf3eb)
e quindi:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ac8d47787399659a1637320aa26347cb86bdf3)
dove
è la funzione indicatrice relativa all'insieme
.[2] Essendo che:
![{\displaystyle \int _{X}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b0e707ce197cf79e9c59017b631aede198d3c6)
la funzione
e soddisfa:
![{\displaystyle \int _{X}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe656c193f8f74254c69277f057274e4d734d3fb)
ma questo è impossibile, e quindi l'assunzione iniziale che
deve essere falsa.
Dato che
è μ-integrabile, l'insieme
è μ-nullo. Quindi
è definita come:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{se }}g(x)<\infty \\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374367e2b6a4e74f02dc319ac58e5e1db0c95027)
e possiede le proprietà richieste.
Come per l'esistenza, siano
due funzioni misurabili che soddisfano:
![{\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc18c1d6696092220a4b1817e0e77db4f3af9a4)
per ogni insieme misurabile
. Quindi
è integrabile rispetto a
e:
![{\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e31331a87e3c2babef54b2b9d34c91603e409a)
In particolare, questo succede per
o
. Segue che:
![{\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a900444871b277322f7b3c1c724920a2d9e62d)
sicché
quasi ovunque. Accade lo stesso per
, e così
quasi ovunque.
Se
e
sono σ-finite, allora
può essere scritto come l'unione di una successione
di insiemi disgiunti in
, ognuno dei quali ha misura finita sia rispetto a
che
. Per ogni n esiste una funzione
-misurabile
tale che:
![{\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b1af36fa3fd966d13a71262fd50363df8c08ef)
per ogni sottoinsieme
che è
-misurabile. L'unione
di tali funzioni è la funzione richiesta. Come per l'unicità, dato che ogni
è unica quasi ovunque (relativamente a
), lo è anche
.
Se
è una misura σ-finita con segno, si può utilizzare la decomposizione di Hahn–Jordan
dove una delle due misure è finita. Applicando i precedenti risultati si ottengono due funzioni
che soddisfano il teorema di Radon–Nikodym per
e
rispettivamente, di cui almeno una è μ-integrabile. La funzione
soddisfa le proprietà richieste, compresa l'unicità in quanto sia
che
sono uniche quasi ovunque.
Se
è complessa, può essere decomposta come
, dove sia
che
sono misure finite con segno. Procedendo come sopra, si ottengono due funzioni
che soddisfano le proprietà richieste per
e
rispettivamente. La funzione cercata è dunque
.
- ^ W. Rudin, Pag. 122.
- ^ Si nota che
; se fosse nulla, poiché
è assolutamente continua rispetto a
si avrebbe
, quindi
e:
![{\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=(\nu _{0}-\varepsilon \mu )(N)\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea5de61d31fbb4b81d511a9c03bda899863fd66)
contraddicendo il fatto che
.
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
- Georgij Evgen'evič Šilov, e B.L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, tradotto da Richard A. Silverman, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8.