In matematica, il teorema di decomposizione di Hahn, il cui nome è dovuto al matematico austriaco Hans Hahn, afferma che dato uno spazio misurabile
e una misura con segno
definita sulla sigma-algebra
, esistono due insiemi misurabili
e
in
tali che:
e ![{\displaystyle P\cap N=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8641c7db6331d761bd50e089ff180f764aa0a14c)
- Per ogni
tale che
si verifica
, ovvero
è un insieme positivo per
.
- Per ogni
tale che
si verifica
, ovvero
è un insieme negativo per
.
Inoltre, tale decomposizione è essenzialmente unica: per ogni altra coppia
e
di insiemi misurabili che soddisfano la definizione le differenze simmetriche
e
sono insiemi
-nulli, nel senso che ogni loro sottoinsieme ha misura nulla rispetto alla misura
. La coppia
è chiamata decomposizione di Hahn.
Una conseguenza del teorema di decomposizione di Hahn è il teorema di decomposizione di Jordan, che afferma che ogni misura con segno
può essere decomposta in modo unico nella differenza:
![{\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94507e88b00801e0f0d1a891f933462b2a393678)
di due misure positive
e
, di cui almeno una delle due è una misura finita, tali che
se
e
se
per ogni decomposizione di Hahn
di
. Le due misure
e
sono dette rispettivamente parte positiva e parte negativa di
, e la coppia
è chiamata decomposizione di Jordan o decomposizione di Hahn-Jordan.
Le due misure possono essere definite come:
![{\displaystyle \mu ^{+}(E):=\mu (E\cap P)\qquad \mu ^{-}(E):=-\mu (E\cap N)\qquad \forall E\in \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b37bebfc27e32e8eef54495b532c4a6393b8056)
per ogni decomposizione di Hahn
di
. La decomposizione di Jordan è unica (mentre la decomposizione di Hahn è soltanto essenzialmente unica).
Come corollario, data una decomposizione di Jordan
di una misura finita
, si ha:
![{\displaystyle \mu ^{+}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)\qquad \mu ^{-}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)\qquad \forall E\in \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8896b141ec2fe224ef68c78df13391052f2cf5)
Inoltre, se
per una coppia di misure finite e non negative
, allora:
![{\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}\qquad \nu ^{-}\geq \mu ^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff9e5cf4b82ba69eb5b44ca698df800c37c9f77)
che significa che la decomposizione di Jordan è la decomposizione minimale di
nella differenza di due misure non negative. In alcuni testi si parla di "proprietà di minimalità" della decomposizione di Jordan.
La dimostrazione del teorema di decomposizione di Hahn può essere suddivisa, per comodità, in tre parti. Nella prima si mostra un lemma preliminare, nella seconda si costruisce la decomposizione e nella terza se ne dimostra l'unicità.
- Un insieme negativo è un insieme
tale per cui
per ogni
che è un sottoinsieme di
. Si ponga che
non assume il valore
, e che
soddisfa
. Allora esiste un insieme negativo
tale che
.
- Per dimostrare questo fatto, sia
e si assuma per induzione che per
sia possibile trovare
. Sia inoltre:
![{\displaystyle t_{n}=\sup\{\mu (B):B\in \Sigma ,\,B\subset A_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d021852a752ea0c3161bb49579a58fe2500dc0)
- l'estremo superiore di
valutato su tutti i sottoinsiemi misurabili
di
, che può anche essere infinito. Dato che l'insieme vuoto
è un possibile candidato per
nella definizione di
, e che
, si ha
. Per come è stato definito
, esiste
in
che soddisfa:
![{\displaystyle \mu (B_{n})\geq \min\{1,t_{n}/2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2aefc3966971489c94bfadc4951b7fddd6c37a7)
- Per concludere il procedimento induttivo è sufficiente porre
. Definendo:
![{\displaystyle A=D\setminus \bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e637f2b136413404d18db588738aab87fabccf97)
- dal momento che gli insiemi
sono sottoinsiemi disgiunti di
, segue dalla sigma additività della misura con segno
che:
![{\displaystyle \mu (A)=\mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\leq \mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\min\{1,t_{n}/2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558a34632e468c0f9c3bc7e659d041a4980ca49b)
- Questo mostra che
. Se
è un insieme non-negativo allora esiste
in
che è sottoinsieme di
e soddisfa
. Allora
per ogni n, e quindi la serie al membro di destra diverge a
, che significa che
, cosa non consentita. Quindi,
deve essere un insieme negativo.
- Sia
. Per induzione, dato
si definisce:
![{\displaystyle s_{n}:=\inf\{\mu (D):D\in \Sigma ,\,D\subset X\setminus N_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55a90f23d80f9517cd77de28b64b847cc9e1746)
- come l'estremo inferiore (che può valere
) di
per tutti i sottoinsiemi misurabili
. Dal momento che
può anche essere l'insieme vuoto, e che
, si ha
. Quindi esiste
in
con
e:
![{\displaystyle \mu (D_{n})\leq \max\{s_{n}/2,-1\}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99e4325eca3f0ba45f566188325efc74fed8091)
- Per quanto detto nella prima parte della dimostrazione, esiste un insieme negativo
tale che
. Per concludere il procedimento induttivo, si pone
.
- Sia:
![{\displaystyle N=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d06f3f985cf8a5b7d381111a34cc4cf44b308b)
- Dato che gli insiemi
sono disgiunti, si ha per ogni
in
che:
![{\displaystyle \mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9abf05e33b2af484b624a12839aa418e6ee54843)
- grazie alla sigma-additività di
. In particolare, questo mostra che
è un insieme negativo. Definendo
, se
non è un insieme positivo allora esiste
in
con
. Allora
per ogni n e:
![{\displaystyle \mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leq \sum _{n=0}^{\infty }\max\{s_{n}/2,-1\}=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39db9c9f4f8b68ea4a7398ce86f7c682bb9008f)
- che non è consentito per
. Quindi,
è un insieme positivo.
- Per provare l'unicità, sia
un'altra decomposizione di Hahn di
. Ma allora
è un insieme positivo e anche negativo, quindi ogni suo sottoinsieme ha misura nulla. Lo stesso vale per
. Dal momento che:
![{\displaystyle P\,\triangle \,P'=N\,\triangle \,N'=(P\cap N')\cup (N\cap P')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffd188cd6f6b4720b4b5aabf7962d7d0f09c65d)
- la dimostrazione è conclusa.