Utente:PersOnLine/reciproci a decimale immutabile

I reciproci a decimale identico sono coppie di numeri reciproci la cui parte decimale rimane innutata, il numero più famosi di questa classe è senz'altro il Phi, o sezione aurea, le cui proprietà matematiche risultato in gran parte essere casi particolare di proprietà comuni a tutti i numeri di questo tipo.

Formula generatrice

Questi numeri sono tutti generati dalla formula:

$x={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

soluzione dell'equazione di secondo grado:

$x^{2}-nx-1=0$

il cui ottenimento è abbastanza intuibile: cercare un numero in cui non muti la sua parte decimale, significa cercare un numero x, il cui reciproco 1/x, sia uguale a se stesso sottratto della sua parte intera n, da cui:

${\frac {1}{x}}=x-n$

Proprietà

Gran parte delle proprietà di questi numeri, sono dimostrabili facilmente dalla stessa equazione generatrice

• ad eccezione del numero per n = 1 sono tutti numeri irrazionali
• tali numero hanno tutti una frazione continua del tipo :$x=[n;n,n,n]$
• sono anche il limite di una serie di radici quadrate