Utente:Orazio320/Sandbox

Successione ellittica di divisibilità

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, una successione ellittica di divisibilità (SED) è una successione di interi ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ che soddisfano una relazione di ricorrenza non lineare derivanti da divisioni polinomiali su curve ellittiche. Le SED sono state definite, studiandone le proprietà aritmetiche, da Morgan Ward negli anni '40. 

Teorema di Zsigmondy

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.Nella teoria dei numeri, il teorema di Zsigmondy, che prende il nome da Karl Zsigmondy, afferma che se a > b > 0 sono interi coprimi, allora per ogni intero n ≥ 1, esiste un numero primo p (chiamato divisore primitivo primo) che divide aⁿ − bⁿ, ma non divide a^k − b^k per tutti gli interi positivi k < n, con le seguenti eccezioni:

• n = 1, a − b = 1; aⁿ − bⁿ = 1 il quale non ha divisori primi
• n = 2, con a + b potenza di due; poichè a² - b² = (a + b)(a¹ - b¹) ed essendo entrambi potenze di due non possono contenere divisori primi dispari
• n = 6, a = 2, b = 1; poichè a⁶ − b⁶ = 63 = 3²7

Questo teorema generalizza quello di Bang, il quale afferma che se n > 1 e n non è uguale a 6, allora 2ⁿ − 1 ha un divisore primo che non divide 2^k − 1 per ogni k < n.

Analogamente, aⁿ + bⁿ ha almeno un divisore primitivo primo con l'eccezione 2³ + 1³ = 9.

Il teorema di Zsigmondy è spesso utile, specialmente nella teoria dei gruppi, per dimostrare che vari gruppi hanno ordini distinti eccetto quando sono noti essere gli stessi.

Storia

Il teorema è stato scoperto da Zsigmondy mentre lavorava a Vienna dal 1895 fino al 1925

Generalizzazioni

Sia $(a_{n})_{n\geq 1}$ una sequenza di interi diversi da 0. L'insieme di Zsigmondy associato alla sequenza è l'insieme

${\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:p\not \in a_{n}\}.$

Ovvero tutti gli $a_{n}$ che non contengono $p$ (divisori primitivi primi) per $n\geq 1$.

Ossia, l'insieme degli indici $n$ tali che ogni divisione per un numero primo di $a_{n}$ divide anche $a_{m}$ per $m<n$. Così il teorema di Zsigmondy implica che ${\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}$, e il teorema di Carmichael afferma che l'insieme Zsigmondy della successione di Fibonacci è $\{1,2,6,12\}$, e quello della sequenza di Pell è $\{1\}$. Nel 2001 Bilu, Hanrot, e Voutier hanno dimostrato che in generale, se $(a_{n})_{n\geq 1}$ è una successione di Lucas o una successione di Lehmer, allora ${\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}$. Le sequenze di Lucas e Lehmer sono esempi di sequenze di divisibilità.

È noto anche che se $(W_{n})_{n\geq 1}$ è una sequenza di divisibilità ellittica, allora l'insieme di Zsigmondy ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ è finito.Tuttavia, il risultato è inefficace, nel senso che la prova dà un esplicito limite superiore per l'elemento più grande in ${\mathcal {Z}}(W_{n})$, anche se è possibile dare un effettivo limite superiore per il numero di elementi in ${\mathcal {Z}}(W_{n})$.

Numeri di Mersenne

Un caso specifico del teorema considera $r$-essimo numero di Mersenne $M_{r}=2^{r}-1$, dunque ogni numero $M_{2}$, $M_{3}$, $M_{4}$, ... ha un numero primo nella fattorizzazione che non è presente nella fattorizzazione di un elemento precedente della sequenza, eccetto $M_{6}$. Ad esempio $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$, ... hanno i fattori 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23(89) , ... che non si presentano prima di $M_{n}$. Questi fattori, talvolta, vengono chiamati numeri di Zsigmondy ${\mathcal {Z}}_{s}(n,2,1)$.

Bibliografia

• K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste, in Journal Monatshefte für Mathematik, vol. 3, n. 1.
• Th. Schmid, Karl Zsigmondy, in Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 36.
• Moshe Roitman, On Zsigmondy Primes, in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 125, n. 7.
• Walter Feit, On Large Zsigmondy Primes, in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 102, n. 1.
• Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward, Recurrence sequences, Providence, RI, American Mathematical Society, 2003, pp. 103–104, ISBN 0-8218-3387-1.
• Ribenboim, P, The Little Book of Big Primes, New York, Springer-Verlag, 1991, p. 27.

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Orazio320/Sandbox, in MathWorld, Wolfram Research.