Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Azione di gruppo

In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

Definizione

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo a sinistra sull'insieme A (ovvero un G-insieme) una funzione:

$G\times A\longrightarrow A$

$(g,a)\mapsto g\cdot a,$

dove $\cdot$ è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

• $1_{G}\cdot a=a\quad \forall a\in A;$
• $g\cdot (h\cdot a)=(gh)\cdot a\quad \forall g,h\in G,\ a\in A.$

Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi. In modo simile si dice azione di gruppo a destra sull'insieme A (ovvero un G-insieme) una funzione:

$A\times G\longrightarrow A$

$(a,g)\mapsto a\cdot g,$

con i due assiomi analoghi a quelli di prima.

In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.

Orbite e stabilizzatori

Orbita

Data la relazione di equivalenza $\sim$ su $A$

$x,y\in A,\ x\ \sim \ y\ \ {\rm {se}}\ \exists g\in G\ \ {\rm {t.c.}}\ \ y=g\cdot x$

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di $A$. L'orbita contenente l'elemento $x$ è data da

$O_{G}(x)=G\cdot x=O_{x}=\{y\in X\mid g\cdot x=y,\ g\in G\}\subseteq X.$

che si può indicare con più notazioni con O_x usata di frequente, ed è un sottoinsieme di X ma non un sottogruppo.

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

Sistemi dinamici

Nell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo $\alpha :G\to {\mbox{aut}}(A)$ che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.

Stabilizzatore

Dato un punto $x$ in $A$, si definisce stabilizzatore di $x$ il sottogruppo di $G$ formato dagli elementi che fissano $x$:

${\mbox{St}}_{G}(x)=G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}\leq G.$

Lo stabilizzatore si dimostra che è un sottogruppo di G.

Vedremo che per un gruppo finito, l'orbita $O_{x}$ di un elemento $x$ conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore $G_{x}$ in $G$. Infatti una biiezione esplicita fra le classi laterali dello stabilizzatore

$G/\sim _{\cdot G_{x}}=\{gG_{x}\}_{x\in X,g\in G}$

e l'orbita $O_{x}$ è data da:

$O_{x}\rightarrow G/\sim _{\cdot G_{x}},$

$g\cdot x\mapsto gG_{x}.$

Proprietà

Se con $n_{O}=\left|X/G\right|$ indichiamo il numero di orbite distinte, allora possiamo definire l'insieme degli elementi rappresentativi delle singole classi come:

$\{x_{1},\ x_{2}\ldots ,x_{n_{O}}\}\subseteq X$

dal teorema di Lagrange si ha per i coset dei sottogruppi stabilizzatori fissato un x_i (i=1,...,n_O)

$|G|=|G_{x}|\ |G/G_{x}|=|G_{x}|\ [G:G_{x}]$

e dal teorema orbita-stabilizzatore

$|O_{x}|=[G:G_{x}]=|G/G_{x}|$

queste due relazioni danno per gli elementi rappresentativi

$|G|=|G_{x_{i}}|\ [G:G_{x_{i}}]=|G_{x_{i}}|\ |O_{x_{i}}|\quad i=1,\ldots ,n_{O}$

Un'altra proprietà dipende dalla partizione dell'insieme X, ottenendo:

$|O_{x}|=|O_{x_{1}}|+|O_{x_{2}}|\ +\cdots +|O_{x_{n_{O}}}|$

Teorema orbita-stabilizzatore e lemma di Burnside

Le orbite e gli stabilizzatori sono strettamente correlati. Fissiamo un elemento x in X, e consideriamo la trasformazione o azione sinistra del gruppo G sull'insieme X

$f:G\to X$ definita dalla $g\mapsto g\cdot x$

Per definizione l'immagine $f(G)$ di questa trasformazione è l'insieme orbita $G\cdot x=O(x).$ La condizione per due elementi avere la stessa immagine è

$$f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.$$

Cioè, $f(g)=f(h)$ se e solo se $g$ ed $h$ stanno nello stesso coset del sottogruppo stabilizzatore $G_{x}.$ Pertanto, la fiber $f^{-1}(\{y\})$ di f su qualsiasi y in G ·X è contenuto in un tale coset, e ogni tale coset si presenta anche come una fibra. Quindi f induce una biiezione tra l'insieme dei coset dello stabilizzatore $G/G_{x}$ e l'orbita $G\cdot x=O_{G}(x)$:

$\epsilon :O_{G}(x)\to G/\sim _{\cdot G_{x}}$

$gG_{x}\mapsto g\cdot x$.

Questo risultato è noto come il teorema orbita-stabilizzatore. Se G è finito allora tale teorema, unito a quello di Lagrange, abbiamo già visto in precedenza che ci dà

$|G\cdot x|=|O_{x}|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,$

In altre parole, la lunghezza dell'orbita per l'ordine del suo stabilizzatore ci dà l'ordine del gruppo. In particolare ciò implica che la lunghezza dell'orbita è un divisore dell'ordine del gruppo.

Esempio: Sia G un gruppo di ordine p (numero primo) che agisce sull'insieme $X=\{x_{1},\ldots ,x_{k}\}$ con k elementi. Poiché ogni orbita ha 1 elemento o p, ci sono almeno $k{\bmod {p}}$ orbite di lunghezza 1 che sono elementi invarianti G. Questo risultato è particolarmente utile poiché può essere utilizzato per contare gli argomenti (tipicamente in situazioni in cui anche X è finito).

Grafo cubico con i vertici etichettati

Esempio: We can use the orbit-stabilizer theorem to count the automorphisms of a graph. Consider the cubical graph as pictured, and let G denote its automorphism group. Then G acts on the set of vertices {1, 2, ..., 8}, and this action is transitive as can be seen by composing rotations about the center of the cube.

Thus, by the orbit-stabilizer theorem, $|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.$ Applying the theorem now to the stabilizer $G_{1},$ we can obtain $|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|.$ Any element of G that fixes 1 must send 2 to either 2, 4, or 5. As an example of such automorphisms consider the rotation around the diagonal axis through 1 and 7 by $2\pi /3$ which permutes 2,4,5 and 3,6,8, and fixes 1 and 7. Thus, $\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3.$ Applying the theorem a third time gives $|\left(G_{1}\right)_{2}|=|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3||\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}|.$ Any element of G that fixes 1 and 2 must send 3 to either 3 or 6. Reflecting the cube at the plane through 1,2,7 and 8 is such an automorphism sending 3 to 6, thus $\left|\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)\cdot 3\right|=2$. One also sees that $\left(\left(G_{1}\right)_{2}\right)_{3}$ consists only of the identity automorphism, as any element of G fixing 1, 2 and 3 must also fix all other vertices, since they are determined by their adjacency to 1, 2 and 3. Combining the preceding calculations, we can now obtain $|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48.$

Numero di orbite

Un risultato strettamente correlato al teorema orbita-stabilizzatore è il lemma di Burnside:

$$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,$$

dove X^g è l'insieme dei punti fissati da g. Questo risultato è utile principalmente quando G e X sono finiti, e può essere interpretato come segue: il numero di orbite è pari al numero medio di punti fissati per elemento del gruppo.

Fissando un gruppo G, l'insieme delle differenze formali degli insiemi G finiti forma un anello chiamato anello di Burnside di G, dove l'operazione + corrisponde all'unione disgiunta, e l'altra operazione · indica il prodotto cartesiano.

Se il gruppo finito $G$ agisce sull'insieme finito $X$, per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:

${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\mbox{fix}}(g)|$

dove

${\mbox{fix}}(g)=\{x\in X:g\cdot x=x\}$

è l'insieme degli elementi di $X$ che sono lasciati fissi dall'elemento $g$ di $G$.

Definizioni ulteriori

Un'azione è fedele se ogni elemento di $G$ sposta almeno un punto di $A$:

$\forall g\in G,g\neq e,\,\exists x\in A:\,g\cdot x\neq x.$

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

$\forall g\in G,g\neq e,\forall x\in A:\,g\cdot x\neq x.$

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

$\forall x,y\in A,\,\exists g\in G:\,y=g\cdot x.$

Un'azione è semplicemente transitiva se:

$\forall x,y\in A,\,\exists !g\in G:\,y=g\cdot x.$

Un punto fisso è un elemento $x$ in $A$ che è lasciato invariato da tutti gli elementi di $G$, ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento $\{x\}$:

$g\cdot x=x,\,\forall g\in G.$

Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele e un'azione è semplicemente transitiva se e solo se è libera e transitiva.

Azioni e permutazioni

Se $\cdot$ è un'azione del gruppo $G$ sull'insieme non vuoto $X$ allora per ogni $g\in G$ la funzione $\pi _{g}:X\to X:x\mapsto g\cdot x$ è una permutazione di $X$, in effetti l'insieme $S:=\{\pi _{g}:g\in G\}$ costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di $X$. In particolare $S$ è isomorfo a $G$ se e solo se l'azione è fedele.

Esempi

• Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:

$G\times G\rightarrow G,$

$(g,x)\mapsto g\cdot x.$

• Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$. Si consideri il gruppo delle funzioni lineari invertibili $\mathrm {GL} _{n}(V)$. Allora

$\mathrm {GL} _{n}(V)\times V\rightarrow V,$

$(f,v)\mapsto f\cdot v:=f(v),$

è un'azione di $\mathrm {GL} _{n}(V)$ su $V.$

Azioni su spazi topologici

Supponiamo ora che $A$ sia uno spazio topologico. Sia $X$ lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente e sia $p$ la proiezione naturale

$p:A\to X\,\!.$

Per definizione di topologia quoziente la mappa $p$ è una funzione continua.

Azioni e rivestimenti

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa $p$ è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti $H$ e $K$ di $A$ l'intersezione

$gH\cap K\,\!$

è non vuota solo per un numero finito di elementi $g$ del gruppo $G$.

Se $A$ è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

• $G$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
• $X$ è di Hausdorff e ogni $x$ in $A$ ha un intorno aperto $U$ tale che

$gU\cap U=\emptyset$

per ogni $g$ in $G$.

• $X$ è di Hausdorff e la proiezione $p:A\to X$ è un rivestimento.

Esempi

Il gruppo ${\mathbb {Z} }_{2}\equiv {\mathbb {Z} }/{2\mathbb {Z} }=\{0,1\}$ agisce sulla sfera $S^{n}$: si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$.

Bibliografia

• Siegfried Bosch, Algebra, Springer, 2003, ISBN 978-88-470-0221-0.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 978-88-08-06440-0.
• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4ª ed., Springer, 1994, ISBN 978-0387942858.</ref>

Voci correlate

• Azione di coniugio