Trasformata

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In matematica, una trasformata è un operatore, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni che trasforma una funzione in un'altra.

Una trasformata è di solito applicata ad una funzione per semplificare alcune operazioni o in generale per risolvere più facilmente dei problemi.

Dato un problema da risolvere A, che può essere un calcolo aritmetico o la risoluzione di un'equazione differenziale, uno schema esemplificativo può essere il seguente:

  1. si trasforma il problema A in un altro problema B più semplice da risolvere;
  2. si risolve il problema B;
  3. si antitrasforma la soluzione del problema B nella soluzione del problema A.

Ad esempio, in aritmetica il processo di trovare il logaritmo di un prodotto può essere ridotto al più semplice processo di sommare i logaritmi dei singoli fattori: potremmo quindi avere una trasformata che trasforma numeri in altri numeri rendendo alcuni aspetti del calcolo più semplici.[1]

Nella matematica superiore questa stessa idea viene applicata per risolvere certi tipi di equazioni differenziali. Per esempio, la trasformata di Laplace consiste nel moltiplicare una funzione di una variabile reale , definita per , per , dove è una variabile complessa , e poi nell'integrare i risultati rispetto a , da zero ad infinito. Ciò genera una nuova funzione chiamata trasformata di Laplace di . Grazie a questa trasformata la risoluzione di alcune equazioni differenziali risulta ridotta alla soluzione di un problema algebrico.[1]

Un altro tipo di trasformata usata per algebrizzare la risoluzione di equazioni differenziali è la trasformata di Fourier[1] che è inoltre alla base dell'analisi di Fourier cioè lo studio di problemi di analisi dei sistemi dinamici e di segnali nel dominio della frequenza (nei sistemi a tempo discreto essa è sostituita dalla trasformata zeta). L'utilizzo della trasformata di Radon o della trasformata wavelet nell'analisi di onde elettromagnetiche riflesse da superfici o corpi è alla base di molte tecniche di diagnostica medica o mappatura della superficie terrestre: grazie a tali trasformate la ricostruzione di immagini tridimensionali viene notevolmente semplificata.

Elenco di trasformate

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  1. ^ a b c (EN) Transform Calculus: with an Introduction to Complex Variables di E. J. Scott

Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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  • Trasformata, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.