Il teorema di Moser è un teorema nell'ambito della geometria delle varietà simplettiche.[1]
Sia
una varietà simplettica per ogni
, dove
e
(ovvero le due forme
appartengono alla stessa classe nella coomologia di de Rham della varietà). Allora, esiste una famiglia di diffeomorfismi
![{\displaystyle \rho \colon M\times \mathbb {R} \to M,\qquad (x,t)\mapsto \rho _{t}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42861f3710f29e23b2e2e5a241b40e5658fef69)
tale che
Per dimostrare il teorema prima dimostriamo che esiste un campo vettoriale dipendente dal tempo
che soddisfa la seguente equazione (equazione di Moser)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{t}}\omega _{t}+{\frac {d\omega _{t}}{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800a2deae394ccd29ee92566d2d9b8ae03824a5c)
Infatti, per quanto riguarda il primo addendo si ottiene (applicando la formula di Cartan per la derivata di Lie)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{t}}\omega _{t}=di_{V_{t}}\omega _{t}+i_{V_{t}}d\omega _{t}=di_{V_{t}}\omega _{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0da623ef48d483069b29635309d62fd6905d630)
dove si tenuto conto che
. Per il secondo addendo invece, usando la definizione di
ma dal momento che
allora
per una qualche 1-forma
. L'equazione da provare diventa pertanto
la quale, dal momento che
è non degenere, è equivalente a
![{\displaystyle i_{V_{t}}\omega _{t}+\mu =0\Longrightarrow \omega _{t}(V_{t},\cdot )=-\mu \Longrightarrow \omega _{t}^{\sharp }(V_{t})=-\mu \Longrightarrow V_{t}=\omega _{t}^{\flat }(-\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b980e3a296bb8f0cade90bb00d6cc16ec760384)
Pertanto, l'equazione di Moser è soddisfatta da un campo della forma
.
Per dimostrare il teorema basta notare che
![{\displaystyle \rho _{t}^{*}\left({\mathcal {L}}_{V_{t}}\omega _{t}+{\frac {d\omega _{t}}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}(\rho _{t}^{*}\omega _{t}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8336b71b7ef0a2a361ab9defd584a45d3721c019)
dove
è il flusso di
. Scegliendo opportunamente il campo
la precedente equazione si riduce a
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\rho _{t}^{*}\omega _{t})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0b893e988a5497f062cc86800903610a3c3325)
Pertanto
non dipende da
e dunque
.
Date due strutture simplettiche
,
su una stessa varietà compatta
, e data una sottovarietà compatta
tale che
![{\displaystyle \omega _{0}|_{i(X)}=\omega _{1}|_{i(X)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c034479a6975f82a7171a043e006b9bef3db91)
si ha che esistono due intorni
di
ed un diffeomorfismo
tali che
.
Si prenda
come intorno tubulare di
. Per ipotesi, si ha che esiste una qualche 1-forma
tale che
. Possiamo scegliere che valga
. Si consideri la seguente forma simplettica
![{\displaystyle \omega _{t}=(1-t)\omega _{0}+t\omega _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548010af8679f676e3072ad589d5a75209cc2888)
per
: possiamo dire che
è simplettica su
, a meno di riscalamenti convessi per eliminare eventuali punti di singolarità della forma. È sufficiente applicare il primo teorema di Moser per trovare un diffeomorfismo
tale che
.