In algebra lineare, il teorema di Binet è un teorema che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.
Il teorema viene generalizzato dalla formula di Cauchy-Binet.
Siano
e
due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo
.
Il determinante del prodotto tra
e
è il prodotto del determinante di
per il determinante di
:
![{\displaystyle \det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbad9ccc31506f7695917e35ecc46097e8f6399b)
Si ricordi che il determinante può essere considerato come una forma multilineare alternante
sulle colonne di una matrice quadrata
; l'unica per cui
dove
è la base canonica di
. Il teorema di Binet segue dal fatto che le forme multilineari alternanti costituiscono uno spazio vettoriale unidimensionale, e che la funzione
è una forma multilineare alternante.
Tutte le forme multilineari alternanti sono multiple del determinante.
Sia
una forma multilineare e alternante. Sia
la base canonica di
. Dati i vettori
tali che ogni
ha coordinate canoniche
. Per multilinearità vale:
![{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=f\left(\sum _{j_{1}=1}^{n}c_{1,j_{1}}e_{j_{1}},\ldots ,\sum _{j_{n}=1}^{n}c_{n,j_{n}}e_{j_{n}}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{j_{n}=1}^{n}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,j_{k}}\right)f(e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{n}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6261fd1010b8f82d106b122d274616fc1b899443)
Poiché la forma è anche alternante, quando
non sono tutti distinti, si ha che
. Possiamo quindi riscrivere l'equazione considerando soltanto i casi in cui
sono distinti, ossia sono una permutazione di
. Indicando con
il gruppo simmetrico di
abbiamo:
![{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,\sigma (k)}\right)f(e_{\sigma (1)},\ldots ,e_{\sigma (n)}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989c80110694988872bc811f4a8b269e8e94a253)
Considerando che ogni forma alternante è anche antisimmetrica si possono riordinare gli argomenti di
nel seguente modo:
![{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{k=1}^{n}c_{k,\sigma (k)}\right)\operatorname {sgn}(\sigma )f(e_{1},\ldots ,e_{n})=f(e_{1},\ldots ,e_{n})\det(C),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875b298273a6f321fb06dd584d62e8bf987398b0)
dove
è la matrice che ha per colonne le coordinate canoniche di
. Dunque
![{\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=f(e_{1},\ldots ,e_{n})\det(v_{1},\ldots ,v_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b05c0c961c18c4a11866da021423aaf8ed727ae)
Il risultato dell'applicazione della forma multilineare alternante alla base canonica determina la forma in modo univoco.
Sia
. Occorre dimostrare che è una forma multilineare alternante sulle colonne di
.
Per le regole della moltiplicazione tra matrici, siano
le colonne di
, allora la colonna
di
è uguale a
e, considerando
e
come forme sulle colonne si può scrivere
Quindi:
è multilineare, infatti siano
,
, vale
![{\displaystyle \phi (\ldots ,\lambda a+b,\ldots )=\det(\ldots ,A(\lambda a+b),\ldots )=\lambda \det(\ldots ,Aa,\ldots )+\det(\ldots ,Ab,\ldots )=\lambda \phi (\ldots ,a,\ldots )+\phi (\ldots ,b,\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d98672639aa1affb2ea031957d9e90640da07b)
è alternante, infatti ![{\displaystyle \phi (\ldots ,a,\ldots ,a,\ldots )=\det(\ldots ,Aa,\ldots ,Aa,\ldots )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502fcff1b346be786f0606f6cbb3f5a674e32f23)
Quindi
![{\displaystyle \det(A\cdot B)=\phi (B)=\phi (I_{n})\det(B)=\det(A\cdot I_{n})\cdot \det(B)=\det(A)\cdot \det(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063de4c4689856f78b0f81067dfe333066725574)
- Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
- se
è invertibile allora esiste
tale che
, e quindi
, e quindi
non è zero.
- se
non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
- Se
è invertibile, allora:
![{\displaystyle \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c89dfac02ebdb8b3aae478f26833186f5da90f)
![{\displaystyle \det(MAM^{-1})=\det M\cdot \det A\cdot \det M^{-1}=\det A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699b984f037cb6ebe4c3a9afa301a1d797db7479)
- Il determinante di un endomorfismo
(dove
è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base
, in realtà non dipende dalla scelta di
: è quindi una grandezza intrinseca di
, che indichiamo con
.
- Il determinante di un'isometria
ha norma 1. Quindi se
il determinante di una isometria è 1 oppure -1.
- (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorems, pp 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.