In matematica e in particolare in analisi matematica, il teorema della scatola di flusso è un risultato fondamentale nella teoria dei campi vettoriali ed è di particolare interesse nella teoria dei sistemi dinamici. Tale teorema asserisce che preso un campo vettoriale differenziabile e un qualsiasi punto non singolare del campo, in un intorno sufficientemente piccolo del punto il campo è diffeomorfo a un campo costante.
Sia
un dominio aperto di
e, detto
un intero, sia
un campo vettoriale di classe
da
a
Un punto
è singolare per il campo
se
Se
è un
-diffeomorfismo, allora il risultato dell'azione di
su
detto push-forward di
tramite
è un campo vettoriale
di classe
così definito
, dove
è il differenziale di
In questo contesto si dice che il campo
è diffeomorfo al campo
tramite
Sia
con
un dominio aperto di
e
un intero, e sia
un punto non singolare per
. Allora esiste un intorno
di
e un diffeomorfismo
tale che il campo
è diffeomorfo tramite
al campo costantemente uguale a
Sia
un iperpiano (cioè
) passante per
e trasversale a
A meno di una trasformazione lineare affine si può supporre che
che
e che
Per il teorema di Cauchy esiste un intorno
di
, un intorno
di zero e una funzione
di classe
, unica soluzione in
dell'equazione
![{\displaystyle {\begin{cases}x'=v(x)\\x(0)=z,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eca4f34020fc6c112e3eebbc11e10c8c3ea371f)
dove
è un qualsiasi punto di
e
è l'evoluzione al tempo
della soluzione con punto iniziale
. Allora, identificando
con
si pone
ed è ben definita la funzione
, avendo usato la notazione
, con
e
La matrice jacobiana di
in 0 è uguale a
![{\displaystyle J\phi (0)={\begin{pmatrix}{\displaystyle \Vert v(0)\Vert }&{\textbf {0}}\\{\textbf {0}}&I_{n-1}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f996c59b034088792ac95a79ec1e4b18d2947fe)
dove
è la matrice identità e
è la matrice nulla. Quindi, per il teorema della funzione inversa, esiste un intorno dell'origine,
, tale che
è un
-diffeomorfismo. Infine, per ogni
, detto
si ha
![{\displaystyle \phi _{*}e_{1}(x)=d\phi _{y}(e_{1})={\frac {\partial \phi }{\partial y_{1}}}(y)={\frac {\partial \psi ^{t}}{\partial t}}(\xi )=v(\psi ^{t}(\xi ))=v(\phi (y))=v(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6c97aa5da043d41a47aec3015546c90573d56d)
Prendendo la prima e l'ultima espressione di questa catena di uguaglianze e applicando
a entrambe si ottiene
. Ricordando che il push-forward commuta con l'inversione,
si ha che
e quindi il diffeomorfismo cercato è
Sia
con
un dominio aperto di
e
un intero, e sia
un punto non singolare per
. Allora esiste un intorno
di
e un diffomorfismo
che trasforma le soluzioni di
in
nelle soluzioni di
in un opportuno intorno dell'origine. Le soluzioni della seconda equazione sono rette parallele a
- Annalisa Malusa, Introduzione alle equazioni differenziali oridinarie, La Dotta, 2013.
- Paolo Buttà e Piero Negrini, Note del corso di Sistemi Dinamici (PDF), Roma, Edizioni Nuova Cultura, 2008, pp. 15-16. URL consultato il 10 maggio 2020.