In matematica, il teorema della proiezione o teorema della proiezione in spazi di Hilbert è un risultato dell'analisi convessa, utilizzato spesso in analisi funzionale, che stabilisce che per ogni punto
in uno spazio di Hilbert
e per ogni insieme convesso chiuso
esiste un unico
tale per cui la distanza
assume il valore minimo su
. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso
di
: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per
è che il vettore
sia ortogonale a
.
Per mostrare l'esistenza di
, sia
la distanza tra
e
, sia
una successione in
tale per cui la distanza al quadrato tra
e
è minore o uguale a
. Se
e
sono due interi allora, per la legge del parallelogramma:
![{\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=\|y_{n}-x+x-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-\|y_{n}+y_{m}-2x\|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90788fa50f0b2ba527c8fcc15f824d4c083c1556)
da cui
![{\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba13b82ea49dead8b78572baa21f8255d6f5443)
Considerando il limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza, e notando che i termini della successione tra
e
appartengono a
(e quindi hanno una distanza da
maggiore o uguale a
), si ottiene:
![{\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150b15b3ca7c2c75cb691332e1ccc4cb240eeea3)
L'ultima disuguaglianza mostra in particolare che
è una successione di Cauchy. Essendo
completo, la successione converge in un punto
la cui distanza da
è minima.
Per mostrare l'unicità di
, siano
e
due punti che minimizzano la distanza. Si ha:
![{\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}=2\|y_{1}-x\|^{2}+2\|y_{2}-x\|^{2}-4\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e625e1e1c1471453918a9f2999ea664ad00a35)
Dato che
appartiene a
si ha:
![{\displaystyle \|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\|^{2}\geq \delta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73f61ad9aff6784a45640d73502a7506590df3b)
e quindi:
![{\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}\leq 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7a7116787bc689d657c77b8081d4148463e772)
Pertanto
, che prova l'unicità.
Per mostrare l'equivalenza della condizione su
nel caso in cui
è un sottospazio chiuso, sia
tale che
per tutti gli
. La condizione è sufficiente in quanto:
![{\displaystyle \|x-a\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}+2\langle z-x,a-z\rangle =\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66daeeb79ca7b88fc2c169d141fcd9e5c09c86da)
che prova il fatto che
è un "minimizzatore". La condizione è anche necessaria, come si vede ponendo
un "minimizzatore". Sia
e
. Allora:
![{\displaystyle \|(y+ta)-x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +t^{2}\|a\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +O(t^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fff54c837cad595886939e434524a234513b738)
è sempre non negativa. Quindi,
.
- (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
- (EN) Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1997.