Simmetria assiale nel piano complesso

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Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.

Casi particolari

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Simmetria rispetto all'asse delle ascisse Ox

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La simmetria rispetto all'asse delle ascisse è la trasformazione:

che associa ad ogni numero complesso il suo complesso coniugato .

Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica, , si ottiene che

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di rispetto all'asse delle ascisse .

Quindi:

passare da un numero complesso al suo coniugato significa applicare al punto la simmetria rispetto all'asse delle ascisse .

Simmetria rispetto all'asse delle ordinate Oy

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La simmetria rispetto all'asse delle ordinate è la trasformazione:

che associa ad ogni numero complesso l'opposto del suo coniugato .

Infatti se ,

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di rispetto all'asse delle ordinate

Quindi:

passare da un numero complesso all'opposto del suo coniugato significa applicare al punto la simmetria rispetto all'asse delle ordinate .

Simmetria rispetto alla bisettrice y=x

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La trasformazione

che associa ad ogni numero complesso il prodotto rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante .

Infatti se , la rappresentazione nel piano cartesiano di

coincide con il simmetrico di rispetto alla bisettrice .

Quindi:

passare da un numero complesso al prodotto significa applicare al punto la simmetria rispetto alla retta , bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Simmetria rispetto alla bisettrice y=-x

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La trasformazione

che associa ad ogni numero complesso il prodotto rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante .

Infatti se , la rappresentazione nel piano cartesiano di

coincide con il simmetrico di rispetto alla bisettrice .

Quindi:

passare da un numero complesso al prodotto significa applicare al punto la simmetria rispetto alla retta , bisettrice del secondo e del quarto quadrante.

Simmetria rispetto alla retta y=y0

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Dato , la trasformazione

che associa ad ogni numero complesso il numero complesso rappresenta la simmetria rispetto alla retta .

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle , e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se , allora

e

il che equivale a

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta .

Quindi:

passare da un numero complesso al numero complesso significa applicare al punto la simmetria rispetto alla retta di equazione .

Simmetria rispetto alla retta x=x0

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Dato , la trasformazione

che associa ad ogni numero complesso il numero complesso rappresenta la simmetria rispetto alla retta .

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle , e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se , allora

e

il che equivale a

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta .

Quindi:

passare da un numero complesso al numero complesso significa applicare al punto la simmetria rispetto alla retta di equazione .

Voci correlate

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