Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.
La simmetria rispetto all'asse delle ascisse
è la trasformazione:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98eb4ff229c2b709bf6f0bfc233c6ca66f213e28)
che associa ad ogni numero complesso
il suo complesso coniugato
.
Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica,
, si ottiene che
![{\displaystyle z'={\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta )+i\sin(-\vartheta ))=\rho e^{-i\vartheta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cefd7e7db2f004cd8637380659d5e8896fb089e)
che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di
rispetto all'asse delle ascisse
.
Quindi:
passare da un numero complesso
al suo coniugato
significa applicare al punto
la simmetria rispetto all'asse delle ascisse
.
La simmetria rispetto all'asse delle ordinate
è la trasformazione:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594c3109dc1d22e7396b23cd4e951796b826e3fb)
che associa ad ogni numero complesso
l'opposto del suo coniugato
.
Infatti se
,
![{\displaystyle z'=-{\overline {z}}=e^{i\pi }{\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta +\pi )+i\sin(-\vartheta +\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\pi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d2acd9ad2220fa384106c0fbe5fc16528ec0a3)
che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di
rispetto all'asse delle ordinate
Quindi:
passare da un numero complesso
all'opposto del suo coniugato
significa applicare al punto
la simmetria rispetto all'asse delle ordinate
.
La trasformazione
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=i{\overline {z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9951e0cb7a187547b323404e5cbc57370516887)
che associa ad ogni numero complesso
il prodotto
rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
.
Infatti se
, la rappresentazione nel piano cartesiano di
![{\displaystyle z'=i{\overline {z}}=e^{i{\pi \over 2}}{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)+i\sin \left(-\vartheta +{\pi \over 2}\right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{\pi \over 2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993ce548197aa62f2bec1a8eafdbdc687ea9c808)
coincide con il simmetrico di
rispetto alla bisettrice
.
Quindi:
passare da un numero complesso
al prodotto
significa applicare al punto
la simmetria rispetto alla retta
, bisettrice del primo e del terzo quadrante.
La trasformazione
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=-x}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-i{\overline {z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efdb6b5f3bb1248f9f4d4f1884196582226e3fb)
che associa ad ogni numero complesso
il prodotto
rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante
.
Infatti se
, la rappresentazione nel piano cartesiano di
![{\displaystyle z'=-i{\overline {z}}=e^{i{3 \over 2}\pi }{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)+i\sin \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{3 \over 2}\pi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed25c8e6cc7baf06dc8db73f006206ac42bab7a)
coincide con il simmetrico di
rispetto alla bisettrice
.
Quindi:
passare da un numero complesso
al prodotto
significa applicare al punto
la simmetria rispetto alla retta
, bisettrice del secondo e del quarto quadrante.
Dato
, la trasformazione
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{y=y_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'={\overline {z}}+\omega _{0}={\overline {z}}+2y_{0}i\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1918a585b54e9a0cb1210ab967b21ed0ff785388)
che associa ad ogni numero complesso
il numero complesso
rappresenta la simmetria rispetto alla retta
.
Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle
, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.
Se
, allora
![{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafc76b846737a2b9d7e23a544732d8dff20e241)
e
![{\displaystyle {\overline {z}}+2y_{0}i=x-iy+2y_{0}i=x+i(2y_{0}-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a4a2d415d14098368d0c7c06ecff0dd2059ae5)
il che equivale a
![{\displaystyle {\begin{cases}x'=x\\y'=2y_{0}-y,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a57e341303b9420f9435d0ff23ca4609a19243e)
equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta
.
Quindi:
passare da un numero complesso
al numero complesso
significa applicare al punto
la simmetria rispetto alla retta di equazione
.
Dato
, la trasformazione
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{x=x_{0}}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=-{\overline {z}}+t=-{\overline {z}}+2x_{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e05bea856e79063315cc3a3f17f81447aa6fbb)
che associa ad ogni numero complesso
il numero complesso
rappresenta la simmetria rispetto alla retta
.
Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle
, e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.
Se
, allora
![{\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafc76b846737a2b9d7e23a544732d8dff20e241)
e
![{\displaystyle -{\overline {z}}+2x_{0}i=-x+iy+2x_{0}i=(2x_{0}-x)+iy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143b96f069c134d5344489e9f22d3d1b36b15ce0)
il che equivale a
![{\displaystyle {\begin{cases}x'=2x_{0}-x\\y'=y,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0194dc22c043d8e6003fc706856b65891d99323b)
equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta
.
Quindi:
passare da un numero complesso
al numero complesso
significa applicare al punto
la simmetria rispetto alla retta di equazione
.