Si definisce sequenza di Sturm su un intervallo
, dove
e/o
possono essere infiniti, una sequenza di polinomi
tale che
non si annulla mai su ![{\displaystyle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c)
- Per ogni zero di
con
si ha ![{\displaystyle f_{k-1}(x)f_{k+1}(x)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9120ae47ce95ff71f538b2ae29afb853c58697)
Il nome deriva dal matematico Jacques Charles François Sturm.
Per
definiamo la funzione
come il numero di volte che i termini della sequenza
cambiano segno, ignorando gli zeri. Se
è finita
allora definiamo
come
dove
è tale che
per
e per ogni
e definiamo analogamente
.
Se
allora definiamo
come il numero di volte che i termini della sequenza
cambiano segno, e analogamente definiamo
.
È possibile esprimere il teorema:
Sia
una sequenza di Sturm sull'intervallo
allora se
né
e né
è uguale a zero,
dove si è usato l'indice di Cauchy.
Consideriamo
spostarsi sull'asse dei reali, il valore di
non cambia quando
attraversa uno zero di
con
a causa della seconda proprietà delle sequenze di Sturm, quindi
cambia solo quando
attraversa uno zero di
. Se
è uno zero di
allora non è uno zero di
sempre a causa della seconda proprietà, per cui
ha lo stesso segno sia alla destra di
che alla sinistra.
Se
ha molteplicità pari allora
non cambia di segno quando
attraversa
e di conseguenza
non cambia, invece se
ha molteplicità dispari allora
aumenta di 1 se
e
hanno lo stesso segno alla sinistra di
, viceversa
diminuisce di 1 se
e
hanno segno opposto alla sinistra di
. In modo corrispondente per gli zeri con moltiplicità dispari l'indice di Cauchy riceve un contributo -1 se
e
hanno lo stesso segno alla sinistra di
, o un contributo +1 se
e
hanno segno opposto alla sinistra di
.