Riferimento proiettivo

In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.

Definizione

Sia $\mathbb {P} (V)$ uno spazio proiettivo di dimensione $n$ (cioè $V$ ha dimensione $n+1$). Un riferimento proiettivo è una collezione di $n+2$ punti in $\mathbb {P} (V)$

$P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n+1}\,\!$

tali che nessun sottoinsieme di $n+1$ di questi punti è contenuto in un iperpiano.

Proprietà

Dal riferimento alla base

Un riferimento proiettivo identifica una base dello spazio vettoriale $V$ in modo unico, a meno di un fattore moltiplicativo $\lambda$ (non nullo applicato a tutti i vettori della base). Tramite la base, è quindi possibile scrivere ogni vettore di $V$ in coordinate, e quindi ogni vettore di $\mathbb {P} (V)$ in coordinate omogenee.

Più precisamente, indicando con $p$ la proiezione

$p\colon V\to \mathbb {P} (V),$

vale il fatto seguente:

Esiste una base $v_{0},\ldots ,v_{n}$ di $V$ tale che

$p(v_{0})=P_{0},\ldots ,p(v_{n})=P_{n},\ p(v_{0}+\ldots +v_{n})=P_{n+1}.$

Ogni altra base con questa proprietà è del tipo $\lambda v_{0},\ldots ,\lambda v_{n}$, per qualche $\lambda$ in $K$.

Per il loro ruolo, i punti $P_{0},\ldots ,P_{n}$ sono detti punti fondamentali e $P_{n+1}$ è il punto unità.

I punti fondamentali non sono sufficienti a determinare una base a meno di un solo fattore $\lambda$ globale: per questo scopo è necessario considerare anche il punto unità.

Dalla base alle coordinate omogenee

Tramite la base $v_{0},\ldots v_{n}$, ogni vettore $v$ di $V$ è descrivibile tramite le sue coordinate, determinate dalla relazione

$v=a_{0}v_{0}+\ldots a_{n}v_{n}.$

Le coordinate di $v$ sono quindi $(a_{0},\ldots ,a_{n})$. È quindi possibile assegnare alla sua proiezione $p(v)$ le coordinate omogenee

$[a_{0},\ldots ,a_{n}].$

Il fattore di arbitrarietà $\lambda$ nella scelta della base non influisce nel risultato: infatti la base $\lambda v_{1},\ldots ,\lambda v_{n}$ fornisce le coordinate

$\left[{\frac {a_{0}}{\lambda }},\ldots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}\right]$

equivalenti alle precedenti, poiché omogenee.

Le coordinate omogenee dei punti $P_{0},\ldots ,P_{n+1}$ risultano essere quindi rispettivamente

${\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},\ldots ,{\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$

Esempi

Retta proiettiva

In una retta proiettiva, un sistema proiettivo necessita di tre punti distinti $P_{0},P_{1}$ e $P_{2}$, le cui coordinate saranno quindi rispettivamente $[1,0],[0,1]$ e $[1,1]$.

Piano proiettivo

In un piano proiettivo, un sistema proiettivo necessita di quattro punti $P_{0},P_{1},P_{2}$ e $P_{3}$. Per ipotesi, tre di questi quattro punti non devono mai giacere su una stessa retta, cioè non devono essere allineati. Le loro coordinate saranno rispettivamente $[1,0,0]$, $[0,1,0]$, $[0,0,1]$ e $[1,1,1]$.

Voci correlate

• Spazio proiettivo
• Coordinate omogenee