La proiezione di Leray, che prende il nome da Jean Leray, è un operatore lineare usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, in particolare in fluidodinamica. Informalmente, può essere visto come la proiezione sulla componente solenoidale del campo vettoriale. È usata per eliminare il termine di pressione e il termine solenoidale dalle equazioni di Stokes e di Navier-Stokes.
La proiezione di Leray
di un campo vettoriale
(in qualsiasi dimensione
) è definita come
![{\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} -\nabla \Delta ^{-1}(\nabla \cdot \mathbf {u} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3fb4881b686bbef0b233cd514222858434cf19)
nel senso degli operatori pseudo-differenziali: il suo moltiplicatore di Fourier (a valori matriciali)
è dato da
![{\displaystyle m(\xi )_{kj}=\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}},\quad 1\leq k,j\leq n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb4957d9ad8b646f7c398b5a7a36cf628df1cc4)
Qui
è il delta di Kronecker. Formalmente, significa che per ogni
si ha
![{\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )_{k}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}}\right){\widehat {\mathbf {u} }}_{j}(\xi )\,e^{i\xi \cdot x}\,\mathrm {d} \xi ,\quad 1\leq k\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb872c91257edbef52f5ad9afda0639789c95e52)
dove
è lo spazio di Schwartz e le somme sono espresse in notazione di Einstein.
Un campo vettoriale
può essere decomposto come
![{\displaystyle \mathbf {u} =\nabla q+\mathbf {v} ,\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b49dc4d930996937dc719a541c64053f7043de)
A differenza della decomposizione di Helholtz, la decomposizione di Helmholtz-Leray di
è unica (a meno di una costante additiva per
). Quindi
può essere definita come
![{\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {v} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329a6009c804a631bb72ddba0b6424c48f189353)
La proiezione di Leray soddisfa le seguenti proprietà notevoli:
- È una proiezione:
per ogni
.
- È un operatore solenoidale:
per ogni
.
- È l'identità per i campi solenoidali:
per ogni
tale che
.
- Si annulla sui campi vettoriali relativi a un potenziale scalare:
per ogni
.
Le equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili sono
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\nu \,\Delta \mathbf {u} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d44928c8df818f9279c4ef4638c8d8723b9408d)
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f70c85ec868f8dd21cf2662ebfa2ec2552df8be)
dove
è la velocità del fluido,
la pressione,
la viscosità e
la forza di volume esterna.
Applicando la proiezione di Leray alla prima equazione e usandone le proprietà, si ottiene
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nu \,\mathbb {S} (\mathbf {u} )+\mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=\mathbb {P} (\mathbf {f} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a2aec95799b04f26972ef3ef18b0318379e7c4)
dove
![{\displaystyle \mathbb {S} (\mathbf {u} )=-\mathbb {P} (\Delta \mathbf {u} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bdb8f98f64f3cb2a831e9a1f4e452bdefb9c27)
è l'operatore di Stokes e la forma bilineare
è definita come
![{\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a341af62d38fd810958b5359fdbd5e0c5da7d6e)
Per semplicità si può assumere in generale che
sia solenoidale, quindi
; questo può essere sempre imposto, aggiungendo alla pressione il termine
.
- Roger Temam, Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, 2001, ISBN 0-8218-2737-5.
- Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier–Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)