In matematica, l'operatore di Frobenius-Perron codifica informazioni riguardo una funzione iterata ed è spesso utilizzato per studiare il comportamento di sistemi dinamici, meccanica statistica, caos quantistico e frattali. L'operatore di Frobenius-Perron è anche chiamato operatore transfer o operatore di Ruelle.
Si consideri una trasformazione misurabile
, con
uno spazio con misura
-finita. Sia
una misura di probabilità su
e si osservi l'evoluzione di tale misura sotto l'azione del sistema. Se la misura
descrive la distribuzione dei punti nello spazio delle fasi
, la misura
tale che
descriverà la distribuzione dei punti dopo l'azione della trasformazione
. Sia
assolutamente continua rispetto ad
con densità
. Se anche
è assolutamente continua rispetto ad
, con
, possiamo definire l'operatore
su
data da
![{\displaystyle P(x,B)={\begin{cases}1,&S(x)\in B,\\0,&S(x)\notin B.\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa77853c5369edc2cf4f0af0df21f80d606ebf1)
Per trasformazioni non singolari, l'operatore
è correttamente definito. La condizione di non singolarità prenderà in tal caso la forma
![{\displaystyle m(B)=0\implies m(S^{-1}(B))=0,\;\;B\in \Sigma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b25bf6642ae5074595115b8bb642db22033d90)
Tale operatore può essere esteso ad un operatore lineare limitato
, con
operatore stocastico detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione
.
Sia
uno spazio di misura
-finito e sia
una trasformazione non singolare di
. Un operatore
che soddisfa la condizione
![{\displaystyle \int _{B}P_{S}f(x)m(dx)=\int _{S^{-1}(B)}f(x)m(dx),\;\;B\in \Sigma ,\;\;f\in L^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf2d51e2b324e351d57e673010d89f152682efc)
è detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione
. L'aggiunto dell'operatore di Frobenius-Perron
, detto operatore di Koopman, è dato da
.
In particolare, se
è biettiva e non singolare rispetto a
, allora
![{\displaystyle P_{S}f(x)=1_{S(X)}(x)f(S^{-1}(x)){\frac {d(m\circ S^{-1})}{dm}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0607944b23436c9a176a1f00625ae64e79655f4)
per quasi ogni
.
L'operatore di Frobenius-Perron è un particolare tipo di operatore di Markov perciò ogni proprietà dimostrata per gli operatori di Markov può essere trasferita all'operatore di Frobenius-Perron. In particolare:
è un operatore lineare;
se
;
;
- l'operatore di Frobenius-Perron della composizione di trasformazioni è la composizione degli operatori di Frobenius-Perron delle trasformazioni.
Dal teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari discende immediatamente che per ogni
,
Sia
con interno non vuoto e frontiera con misura di Lebesgue nulla. Sia
una trasformazione misurabile. Assumiamo che esista una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di
,
, con le seguenti proprietà:
- gli insiemi
e
hanno misura di Lebesgue nulla;
- le funzioni
sono diffeomorfismi da
in
.
Allora anche le trasformazioni
sono diffeomorfismi da
in
, l'operatore di Frobenius-Perron esiste ed è dato dalla formula
![{\displaystyle P_{S}f(x)=\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b935093004ae8598665fa228c25196a335d593)
dove
. Difatti:
![{\displaystyle \int _{S^{-1}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{\psi _{i}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}Pf(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b373ec0493a15a40013d6eed20e0dc862c7fad97)
Supponiamo che
sia un intervallo,
e sia
. Allora
![{\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}([a,x])}f(s)ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5639fc9370cc0c844845eae79d9cb573e685f4)
Se
è differenziabile e invertibile allora
è monotona. Sia quindi
monotona crescente ed
con derivata continua. Allora
e quindi
![{\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}(a)}^{S^{-1}(x)}f(s)ds=d(S^{-1}(x)){\frac {d}{dx}}\left[S^{-1}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d00bafe9d78de71b123fdda3b96a27f8664c280)
Sia
una mappa logistica, con
, con
. Si trova facilmente la forma analitica della retroimmagine di un intervallo
:
![{\displaystyle S^{-1}([0,x])=[0,{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}}]\cup [{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}},1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca0cc60f1bf28f2f0547d28b2459aebd0cec03a)
L'equazione diventa quindi
![{\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\left(\int _{0}^{1/2-1/2{\sqrt {1-x}}}f(u)du+\int _{1/2+1/2{\sqrt {1-x}}}^{1}f(u)du\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8981c206e3e336ce715bbb79e235f7a69a05d966)
ossia
![{\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{4{\sqrt {1-x}}}}\left[f({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})+f({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9468fcbfea3a339b54a9ed77c013d8b4ce6d8f4)
Il calcolo dell'operatore di Frobenius-Perron corrispondente alla trasformazione quadratica mostra quindi come
trasforma la densità
in una nuova densità
. Prendendo ad esempio
per
, otteniamo
![{\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{2{\sqrt {1-x}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8809634d04932a31f5a94a6db59876c7ffdda0fd)
![{\displaystyle P^{2}f(x)={\frac {\sqrt {2}}{8{\sqrt {1-x}}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-{\sqrt {1-x}}}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73156e802b1bf27f4d0b54a047b47e31192a07d5)
![{\displaystyle \qquad \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df187a85775c68fcd9530ab6fdb13c0c1c554a2c)
![{\displaystyle f_{*}(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a39694f1d69bb21f15a382c633d47d301a828c1)
con
densità limite di
quando
.
Si consideri un insieme finito di funzioni non singolari differenti,
su uno spazio di misura
-finito
. Siano
funzioni misurabili non negative definite su
tali che
per ogni
. Si prenda un punto
. Si sceglierà la trasformazione
con probabilità
e la posizione di
dopo l'azione del sistema sarà
. Si consideri dunque la probabilità di transizione
per ogni
e insieme misurabile
. Per ogni misura
si avrà:
![{\displaystyle P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{X}p_{j}(x)\delta _{S_{j}(x)}(B)\mu (dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)\mu (dx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56334bc47353efd63e4b442d2e1e07b82a70d92)
e, se
è assolutamente continua,
, si avrà
![{\displaystyle P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)f(x)m(dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{B}P_{S_{j}}(p_{j}f)(x)m(dx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd465d674efe15c0de3b9c3ce4d2d7a777dfe2b)
con
operatori di Frobenius-Perron associati. L'operatore stocastico corrispondente a
sarà della forma
.
Sia
,
, una famiglia di trasformazioni misurabili, dove
è uno spazio metrico dotato di misura di Borel
, e sia
una famiglia di funzioni misurabili tali che
con probabilità di transizione
della forma
Se ogni trasformazione
è non singolare, allora l'operatore stocastico corrispondente alla probabilità di transizione è della forma
![{\displaystyle Pf=\int _{Y}P_{S_{y}}(p_{y}f)\nu (dy),\;\;f\in L^{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5d04e53989aef1a49fd5a13f655622241791a2)
dove
è l'operatore di Frobenius-Perron per
.
- Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.
- Karma Dajani and Sjoerd Dirksin. A simple introduction to ergodic theory. University of Utrecht, Lecture notes in Ergodic Theory, 2008.
- Manfred Einsiedler and Thomas Ward. Ergodic Theory with a view towards Number Theory. Springer, first edition, 2010.
- Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
- Peter Walters. An introduction to Ergodic Theory. Springer, 2000 edition.