Si presenta la generica omotetia nel piano complesso di centro
e rapporto
, con
numero reale diverso da zero e
punto del piano complesso (si veda numeri complessi e punti del piano cartesiano).
Sia
il punto corrispondente al numero complesso
, e sia
un numero reale diverso da
e da
.
L'omotetia
di centro
e rapporto
, è la trasformazione che associa ad ogni punto
, corrispondente del numero complesso
, il punto
, corrispondente del numero complesso
, tale che:
![{\displaystyle {\vec {C_{0}P'}}=a{\vec {C_{0}P}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77222d92eb92665b883f16b488ffc6afb67f64a0)
Dal momento che
![{\displaystyle {\vec {C_{0}P}}=z-z_{0},\quad {\vec {C_{0}P'}}=z'-z_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064e9d3576a6c2df67b8e806007c1e63e230600b)
si ha che
![{\displaystyle z'-z_{0}=a\left(z-z_{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b3af403e3e6f252a9215fb12d1636ea20fd6b2)
Quindi, introducendo
, la scrittura complessa dell'omotetia è:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{C_{0},a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az+b=a\rho e^{i\theta }+b.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ee643edd3180b6dd7a100e3bd1916ec189aadd)
In modo particolare l'omotetia
di centro l'origine degli assi
e rapporto
, è la trasformazione
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{O,a}\colon \mathbb {C} &\longrightarrow \mathbb {C} \\z&\longmapsto z'=az=a\rho e^{i\theta }=a\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8eca574329bb554788f4f4d7d7afbc7fd08a3f9)
ove si è posto
![{\displaystyle z=\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0543c5de2737e5e6242d422655de3adf5443a61)
Osserviamo inoltre come opera la trasformazione in base al segno del numero
:
Quindi:
moltiplicare il numero complesso
per un numero reale
non nullo e diverso da
equivale ad applicare al punto
l'omotetia di rapporto
.
Si determina la scrittura complessa dell'omotetia di centro
e rapporto
.
Il numero complesso corrispondente a questo punto è
.
Quindi, ricordando che l'omotetia si ottiene con
, si ha che
cioè
.