Numero di Prandtl

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Il numero di Prandtl (abbreviato con ) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.[1]

Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Schmidt.

Definizione matematica

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È definito come:[2]

dove (relativamente al fluido in esame):

  • è la diffusività cinematica, misurata nel Sistema Internazionale (SI) in ;
  • è la diffusività termica, misurata nel SI in ;
  • è la viscosità dinamica, misurata nel SI in ;
  • è la capacità termica specifica a pressione costante, misurato nel SI in: ;
  • è la conduttività termica, misurata nel SI in .

Formulazione della definizione matematica

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L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

,

in cui (relativamente al corpo in esame):

  • è la derivata materiale dell'entalpia specifica (), misurata in ;
  • è la densità di corrente termica, misurata in ;
  • è l'energia persa per dissipazione viscosa per unità di volume, misurata in ;
    • è il tensore dello sforzo di taglio, misurato in ;
    • è il gradiente della velocità del fluido, misurato in ;
  • è la derivata materiale della pressione, misurata in .

Le unità di misura sono tutte intese nel Sistema Internazionale.

Questa equazione nel caso di fluido viscoso che segue la legge di Newton-Stokes e la legge di Fourier si riduce a:

,

in cui (relativamente al corpo in esame):

  • è la densità, ;
  • è la capacità termica specifica a pressione costante, ;
  • è la conduttività termica
  • è la viscosità dinamica
  • è la temperatura .

Nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

ovvero:

,

in cui (relativamente al fluido in esame):

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando questa equazione. Si pone e risulta che:

,

perciò:

,

ora è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione di bilancio dell'energia diventa:

Interpretazione fisica

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Valori tipici del numero di Prandtl sono:

  • circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;[3]
  • tra 100 e 40000 nel caso degli oli motore;
  • circa 0,015 per il mercurio.
  • circa 7 per l'acqua (a 20 °C).

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle[senza fonte], per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

  1. ^ (EN) Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport phenomena, 2nd, Wiley international ed, J. Wiley, 2007, p. 268, ISBN 0-471-41077-2, OCLC 46456316. URL consultato il 4 settembre 2022.
  2. ^ (EN) scienceworld.wolfram.com, Prandtl Number
  3. ^ (EN) Charles F. Curtiss, R. Byron Bird e University of Wisconsin. Naval Research Laboratory, Molecular theory of gases and liquids, Wiley, 1964, ISBN 0-471-40065-3, OCLC 534717. URL consultato il 4 settembre 2022.

Voci correlate

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