In matematica, con numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) si indica un intero algebrico α che è reale e maggiore di
, ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di
in valore assoluto.
Se ad esempio
è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato
, ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in
da
![{\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a06f1298047b0936fda5a54c3ff1bb16fadf34)
con
and
entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato
![{\displaystyle \alpha '=a-b{\sqrt {d}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b289e3594d522e23bad412b7e4f458416ceeb0ae)
In questo caso si hanno le due condizioni
![{\displaystyle \alpha >1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a34fb8ea395ef59303fb3bbd2ed874b95fc625c)
![{\displaystyle -1<\alpha '<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc58e6e5a2f6bd430cf9b8bbea4979de9af5ea76)
che sono soddisfatte dal numero aureo
. Abbiamo infatti
![{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f285ba770820bf746febefdfe72f0343c6dae997)
![{\displaystyle \phi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce058bc29e75fc7beef706d510b6e6b83f99874)
Nel caso i coniugati siano non maggiori di
, e uno di essi abbia valore assoluto esattamente
, il numero è detto numero di Salem.
Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. Le stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.
I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza
-sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di
ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di
: abbiamo
, e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.
Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni
la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico
e dei suoi coniugati è un numero intero. Se
è un numero di Pisot, le potenze
-sime degli altri coniugati tendono a
per
che tende a infinito.
Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione
: questo numero (approssimativamente 1,324718) è noto anche come numero plastico. "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado
![{\displaystyle x^{2}-2x-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3dcbfce31aa9418b027400c27be2342d9576ea)
uguale al numero irrazionale algebrico
[1].
Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo
.
Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1,618, in ordine crescente.
# |
Valore |
Radice di...
|
1 |
1,3247179572447460260 |
|
2 |
1,3802775690976141157 |
|
3 |
1,4432687912703731076 |
|
4 |
1,4655712318767680267 |
|
5 |
1,5015948035390873664 |
|
6 |
1,5341577449142669154 |
|
7 |
1,5452156497327552432 |
|
8 |
1,5617520677202972947 |
|
9 |
1,5701473121960543629 |
|
10 |
1,5736789683935169887 |
|
11 |
1,5900053739013639252 |
|
12 |
1,5911843056671025063 |
|
13 |
1,6013473337876367242 |
|
14 |
1,6017558616969832557 |
|
15 |
1,6079827279282011499 |
|
16 |
1,6081283851873869594 |
|
17 |
1,6119303965641198198 |
|
18 |
1,6119834212464921559 |
|
19 |
1,6143068232571485146 |
|
20 |
1,6143264149391271041 |
|
21 |
1,6157492027552106107 |
|
22 |
1,6157565175408433755 |
|
23 |
1,6166296843945727036 |
|
24 |
1,6166324353879050082 |
|
25 |
1,6171692963550925635 |
|
26 |
1,6171703361720168476 |
|
27 |
1,6175009054313240144 |
|
28 |
1,6175012998129095573 |
|
29 |
1,6177050699575566445 |
|
30 |
1,6177052198884550971 |
|
31 |
1,6178309287889738637 |
|
32 |
1,6178309858778122988 |
|
33 |
1,6179085817671650120 |
|
34 |
1,6179086035278053858 |
|
35 |
1,6179565199535642392 |
|
36 |
1,6179565282539765702 |
|
37 |
1,6179861253852491516 |
|
38 |
1,6179861285528618287 |
|
- ^ Marchetti, Rossi Costa, Dal numero aureo al numero plastico, in Archimede, n. 2, 2010.