La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la notevole semplificazione di molte formule, mediante la generalizzazione del concetto di indice a quello di ennupla ordinata di indici.
Trova applicazione, ad esempio, nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.
Un multi-indice n-dimensionale è una ennupla di numeri naturali, cioè numeri interi, maggiori o uguali a zero,
.
Si definiscono le seguenti regole, per
:
![{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6b5d7d524ee5390e8ad81b8ee3d74d81261d70)
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec68f50bd7a58a49f3a7d1cda9c01497bbf5ebd4)
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e666c86971124b8519de50e46ba38f0a9aa8e0)
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7c1638f1d561b5368d5106c6490e18293e3814)
![{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b562089590a89d441246f8b8ffbb5eb695dc9b72)
![{\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aaa01250f703878886a768676d61005ffb0398a)
, dove
. Al posto della lettera D maiuscola si usa anche la notazione ![{\displaystyle \partial ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456c1354f357e40cdb9f5ee48e919b408d3171bb)
Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo 1-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cc267471f8adee870fc296cdb85bf98e8e095b)
Se u, v sono differenziabili, allora
![{\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cf441b6df46d8cf093bd1797eabecbd53f8b82)
Se f è analitica, allora
![{\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de094fbb6efcdbbffe6121af3c46a1d4f7feb0d)
Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come
![{\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645d5a94332d916b1ef8ff417035cd3066157ad3)
Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato
si ha che
![{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c8d3969ed112ea21e545a2486c898ed0b38d52)
Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.
- Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e
allora
![{\displaystyle \partial ^{i}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{se}}\,\,i\leq k\\0&{\hbox{altrimenti.}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254303c9b801e07d6444d046b7a0837fff726b2a)
- Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...
.
Se supponiamo
,
, allora abbiamo che
in quanto per ogni r=1,..,n la funzione
dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale
si riduce alla derivazione ordinaria
. Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che
si annulla se
per qualche r=1,..,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione,
nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,..,n viene
e dunque la tesi del teorema.