In matematica, il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali. Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra.
Siano
e
due funzioni continue e derivabili in
. La derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:[1]
![{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]={\frac {{\text{d}}f(x)}{{\text{d}}x}}g(x)+f(x){\frac {{\text{d}}g(x)}{{\text{d}}x}}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2564d1c0cb491e43bc025f932e44b13fd20ce55)
Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:
![{\displaystyle \int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}[f(x)g(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38740c6bb3da743913b800a8da5bae67bdc30cb)
(Attenzione: abbiamo tacitamente supposto che gli integrali al secondo membro dell'equazione esistano).
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:[2]
![{\displaystyle f(x)g(x)=\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f0717fe71ef3de775eb050e55fbaa3574093fe)
quindi per risolvere un integrale possiamo sfruttarla nella seguente forma:
![{\displaystyle \int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641c4a3b2bed3be031a2d61df9f0e6f3e976bcae)
La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni
e
, quella più facilmente derivabile/integrabile in maniera da poterla utilizzare per eliminare la difficoltà di integrazione insorta. La funzione
è detto fattore differenziale, mentre
è chiamato fattore finito.[3]
Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intervallo di integrazione
si ottiene:
![{\displaystyle \left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}=\int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x+\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674a13b6cc559ccf68203d109bb70cf2814c34e3)
cioè:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}[f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x=\left.f(x)g(x)\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}[f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c667e19a49b7302e7d78c8f01c6d5d1caadf84)
- Vogliamo svolgere per parti:
![{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1b64ea64048150d9bfe1208e2dfdfe9563b862)
Poniamo
e
nell'espressione:
![{\displaystyle \int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978d92ec6ca0a8c13198fff59c35b0ec41957509)
ottenendo:
![{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin(x)\sin(x)-\int [\cos(x)\sin(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ba743cb208ff5e7fe6b5b634c50dcdc7628e27)
![{\displaystyle 2\int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x=\sin ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5fef197d489533ddb29c467103932e15919d7a)
![{\displaystyle \int [\sin(x)\cos(x)]{\text{d}}x={\frac {\sin ^{2}(x)}{2}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9f32586b6867e22045a56c82986fcf31111864)
- Vogliamo risolvere per parti:
![{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0feff2e6915e8a96e18d9f93548aa1a52f71ac66)
Poniamo
e
nell'espressione, come in precedenza:
![{\displaystyle \int [f(x)g^{\prime }(x)]{\text{d}}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978d92ec6ca0a8c13198fff59c35b0ec41957509)
cioè:
![{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-\int e^{x}{\text{d}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fa49e44770e9b249a98e9e72193fb4c92a4e4e)
![{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=xe^{x}-e^{x}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632a44b5b5a7ca67367573c29f1d02f21025bfcd)
![{\displaystyle \int xe^{x}{\text{d}}x=e^{x}(x-1)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff06fdd8317ce226c25e80a95c8f6523da30139)
Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:
![{\displaystyle I_{1}=\int \sin ^{2}x\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79caf5c122eac9106fa15ad823bc8315ad1e85d3)
Usando il metodo di integrazione per parti:
![{\displaystyle \int \sin(x)\cdot \sin(x)\,dx=\int \sin(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb78f1945bacd127652bc03cdda0ced6ab61b031)
![{\displaystyle =-\sin(x)\cos(x)+\int \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin(x)\cdot \cos(x)+\int (1-\sin ^{2}(x))\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308d60a4a2bf6fe2ac738bd1590dc0c9240e0d89)
Dunque:
![{\displaystyle I_{1}=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-\int \sin ^{2}(x)\,dx=x-\sin(x)\cdot \cos(x)-I_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e9591390ba61d5a6618f89d69f45aa44b7e4ac)
quindi abbiamo ottenuto che:
![{\displaystyle I_{1}=\int \sin ^{2}(x)dx={\frac {1}{2}}\left(x-\sin(x)\cdot \cos(x)\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c87c898796da85a26e0496b836391a37af1457)
A questo punto possiamo calcolare tutti gli
integrali di questo tipo:
![{\displaystyle I_{n+1}=\int \sin ^{2n+1}(x)\sin(x)\,dx=\int \sin ^{2n+1}(x)\cdot (-\cos(x))'\,dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16d1b7d8d193986dcfd1c0dd9913894918a4863)
![{\displaystyle =-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)\cdot \cos ^{2}(x)\,dx=-\sin ^{2n+1}(x)\cos x+(2n+1)\int \sin ^{2n}(x)(1-\sin ^{2}x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50f411af62a022a6a3bc14259dfd2995242a9f2)
![{\displaystyle I_{n+1}={\frac {1}{2n+2}}\left[(2n+1)I_{n}-\sin ^{2n+1}(x)\cdot \cos(x)\right]+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a0d4c47806d26da8487197ffdd67dfe8057604)
La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.[4]
Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di
con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è:
![{\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uv\,\nu _{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872adbfea00a48620c15b4f12c1deb9d2df655b5)
dove
è la normale alla superficie unitaria uscente da ∂Ω, νi è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con vi e sommando su i si ottiene la formula vettoriale:
![{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {v} \,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\mathbf {v} \cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {v} \,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4f1c73f664ab625f5e83e7ae68b8846b944a4a)
dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti vi.
Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con
dove
, si ottiene:
![{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\partial \Omega }u\,\nabla v\cdot \nu \,d\sigma -\int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a87b21ed79b7543a4f3a8efc019f7405a8f8f7)
che è la prima identità di Green.
- ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p.W12
- ^ Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p.295
- ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.p.560
- ^ Carlamaria Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di analisi matematica II, CittàStudi Edizioni - Milano, 1997, ISBN 88-251-7206-0. pp.392-397
- Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0.
- Carlamaria Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
- Carlamaria Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di analisi matematica II, CittàStudi Edizioni - Milano, 1997, ISBN 88-251-7206-0.
- Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.