Incidenza (geometria)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca

In matematica due insiemi sono incidenti quando hanno almeno un elemento in comune, ossia quando la loro intersezione non è vuota.

In geometria descrittiva l'incidenza indica anche l'intersezione di due insiemi nel piano o nello spazio euclideo, considerando anche i punti impropri.

Ad esempio, il punto d'incidenza di due rette distinte nel piano è il loro punto d'intersezione; similmente nello spazio si hanno il punto d'incidenza di un piano e di una retta non contenuta in esso, oppure la retta d'incidenza di due piani distinti.

La sezione di una figura piana rispetto a una retta o di una figura solida rispetto ad un piano sono casi particolari di incidenza.

Esempi d'incidenza nel piano

[modifica | modifica wikitesto]

Punto d'intersezione tra due rette complanari

[modifica | modifica wikitesto]

È un punto , che è comune a due rette ed , appartenenti entrambe allo stesso piano . In simboli:

Il punto prende il nome di punto proprio. Nel caso in cui sia il piano cartesiano, chiamiamolo , possiamo riscrivere il tutto:

dove con si intende il prodotto cartesiano tra ed . Con ques'ultima notazione non facciamo altro che dire che fa parte del piano cartesiano e che viene individuato da una coppia di numeri , ossia le sue coordinate.

Nel caso in cui , prende il nome di punto improprio.

Esempio:

Date le due rette di equazione e , per trovare il punto d'intersezione è sufficiente risolvere il sistema:

Risulterà quindi che il punto d'intersezione sarà .

La complanarità tra due rette assegnate ed , disposte nello spazio, può essere verificata solo quando si eseguono almeno due proiezioni, sia centrali sia parallele, di tali rette e . Per esempio, nel metodo di Monge (che fa parte della categoria delle proiezioni parallele), la complanarità può essere verificata quando le proiezioni ortogonali del punto d'intersezione tra le dette rette ed appartengono a una stessa retta di richiamo.

Esempi d'incidenza nello spazio

[modifica | modifica wikitesto]

Retta d'intersezione tra due piani

[modifica | modifica wikitesto]

La retta d'intersezione tra due piani e può essere individuata determinando due punti e comuni a tali piani. Nel caso in cui tali piani e sono tra loro paralleli si ha che tali punti e sono entrambi impropri.

La determinazione di una retta comune a due assegnati piani e , consiste nel eseguire, in ordine, le seguenti operazioni:

  • Determinare un primo punto comune ad e :
    • Si assume un piano ausiliario . Tra gli infiniti piani ausiliari che si possono assumere, spesso per la facilita d'uso, si sceglie quello che ha giacitura verticale.
    • Si determinano e , rispettivamente: come rette d'intersezione tra il piano ausiliario con e .
    • Infine si individua il punto cercato , come intersezione tra le rette determinate e .
  • Si ripetono le operazioni precedenti per determinare un secondo punto , anch'esso comune ai piani assegnati e . A tale fine e per facilitare tali operazioni, è preferibile assumere un secondo piano ausiliario delta che sia parallelo a . In questo modo delta seziona i piani e secondo due rette paralleli a e .

Punto d'intersezione di una retta con un piano

[modifica | modifica wikitesto]

Dati una retta e un piano non passante per (vedi figura). Il punto d'intersezione tra gli elementi dati, il quale può essere improprio quando risulta parallela ad , altrimenti proprio, quando è inclinata rispetto ad . Per determinare tale punto , si procede come di seguito:

  • si fa passare per un piano ausiliario ;
  • si determina una retta come intersezione tra i piani e ;
  • si individua, in ultimo, il punto cercato come intersezione tra la rette e .

Si tiene presente che nel caso in cui risulta che tali rette e sono tra loro paralleli, significa che è parallela al piano .

Incidenza di una retta r con una superficie proiettiva

[modifica | modifica wikitesto]

Incidenza di r con un cilindro

[modifica | modifica wikitesto]

Date le proiezioni ortogonali di un cilindro e di una retta , in cui è stabilito che ha base circolare appartenente al primo piano di proiezione e asse inclinato rispetto a tale piano, si vuole determinare eventuali punti d'incidenza di con .

Il concetto d'intersezione di una retta con cilindro si basa sul fatto che i piani che passano per il vertice di ( cioè parallele al suo asse) lo sezionano seconda due generatrici (in questo caso sono due rette), e poiché un punto improprio (vertice del cilindro) e la retta data individuano un solo piano , per cui, è sufficiente individuare tale piano per risolvere il problema in questione. Per inciso:

  • La prima traccia di si individua unendo la prima traccia di con la prima traccia di un'altra retta complanare a e parallele all'asse del cilindro .
  • Dove la prima traccia di interseca la base inferiore di , passano le due generatrici, e , d'intersezione tra e .
  • In ultimo, i punti d'incidenza di con , si individuano come intersezione delle dette generatrici e con .

Nota importante: con procedimento analogo, come sopra, è possibile determinare l'intersezione di una retta con qualsiasi tipo di superficie proiettiva, come le superfici coniche, le piramidi, i prismi.

Voci correlate

[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti

[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni

[modifica | modifica wikitesto]
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica