In teoria dei numeri, l'identità di Legendre-de Polignac (o anche solo identità di Legendre), da Adrien-Marie Legendre e Alphonse de Polignac, fornisce l'esponente della maggiore potenza di un numero primo
che divide il fattoriale
dove
è un intero.
Per ogni
numero primo e ogni
intero positivo, con
indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo
che divide
(la valutazione p-adica di
). Allora
![{\displaystyle \upsilon _{p}(n!)=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a793d8c82afaee6363687c54636601db76edb2e6)
dove
rappresenta la parte intera di
Per ogni
tale che
, si ha
A ciò segue la disuguaglianza
![{\displaystyle {\displaystyle \upsilon _{p}(n!)\leq {\frac {n}{p-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2c58e76fd59c3588c3542b8e9e8d5e9a25aef4)
Per
si ha
. Gli esponenti
e
possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:
![{\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34cf32b7a35eb3e4c6e8bf3fed02398e07ab4ae)
Essendo
il prodotto degli interi da
a
otteniamo almeno un fattore di
in
per ogni multiplo di
in
che sono in numero pari a
. Ogni multiplo di
apporta un ulteriore fattore di
ogni multiplo di
apporta ancora un altro fattore di
ecc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per
.
Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in base
di
Con
si denota la somma delle cifre dell'espansione in base
di
Allora
![{\displaystyle {\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81165c1251c8c9e8e0e485489b981c9ad605c786)
Scrivendo
in binario come
abbiamo che
e quindi
![{\displaystyle {\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e77af4e71bd36214a733cf61ed5a7464c1c11f)
Similmente, scrivendo
in ternario come
abbiamo che
e quindi
![{\displaystyle {\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c8c1fb159050859c8ef062aee3b5fbb421f718)
Scrivendo
in base
si ottiene che
Allora
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{j=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor \\&=\sum _{j=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -j}+\cdots +n_{j+1}p+n_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=j}^{\ell }n_{i}p^{i-j}\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=1}^{i}n_{i}p^{i-j}\\&=\sum _{i=1}^{\ell }n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&=\sum _{i=0}^{\ell }n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{i=0}^{\ell }\left(n_{i}p^{i}-n_{i}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c5bc87c32d0c1add298b3a42ff048e51841798)
L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il teorema di Kummer. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se
è un intero positivo, allora
divide
se e solo se
non è una potenza di
Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la funzione esponenziale p-adica ha raggio di convergenza
.
- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 3.11)
- Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
- Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
- Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.