In matematica, l'identità del triplo prodotto di Jacobi è l'identità matematica:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760fda485be401e2feef5e0acaf4075b8bc40955)
Per i numeri complessi x ed y, con |x| < 1 e y ≠ 0.
L'identità è attribuita a Karl Gustav Jacob Jacobi, che la dimostrò nel 1829 nella sua opera Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.[1]
Questa relazione permette di generalizzare altri risultati, come il teorema dei numeri pentagonali di Eulero, essendo questo un caso speciale dell'identità del triplo prodotto di Jacobi.
Infatti, ponendo
e
, si ottiene
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {3n^{2}}{2}}(-1)^{n}q^{n/2}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{3m}\right)\left(1-q^{3m-1}\right)\left(1-q^{3m-2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb0e89587b7fb5168946771da66152f8a857ec0)
poi, notando che i tre termini a 2° membro dell'equazione sono consecutivi ed infine riordinando si ritrova il risultato di Eulero
![{\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53975e829df907604e7f9faf5273a92c09fbee6d)
L'identità del triplo prodotto di Jacobi riesprime in forma di prodotto la funzione theta di Jacobi, normalmente scritta come serie:
![{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74f062c18fbfe7d4ffd0cf9c3a4cd2a752bf2b7)
o, appunto come
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5252ce9210eba46970a8ad84a5929ac658e98e)
ponendo
e
Usando l'identità del triplo prodotto di Jacobi possiamo perciò scrivere la funzione theta come il prodotto
![{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7daddabc3e0874b599e9ea579572e52262b422)
Esistono diversi modi di esprimere l'identità del triplo prodotto di Jacobi. Assume una forma concisa quando viene espressa in termini dei q-simboli di Pochhammer.
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91e833ed5e176683dc8bb4e666c30d7106b509a)
dove
è il q-simbolo infinito di Pochhammer.
Particolarmente elegante è invece la forma che prende quando viene espressa in termini della funzione theta di Ramanujan:
![{\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed637c0b52f731b263ebf4e627d24f3c1cd4f49)
ove
.
Per dimostrare l'identità del triplo prodotto di Jacobi si può ricorrere al seguente metodo. Si definisce la funzione f come:
![{\displaystyle f\left(z\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0ea72416e0279dbdbf1b65db5264287d566b05)
e si osserva che sviluppando i fattori di
, si ottiene l'espressione
![{\displaystyle f\left(xz\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+x^{2\left(n+1\right)-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2\left(n-1\right)-1}}{z^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad982212df478ada64c2bccb3ab657b14efc905)
cioè i termini sono gli stessi della funzione calcolata in z, a parte quando n=1 in cui il primo fattore viene calcolato come se n iniziasse da 2, e compare un nuovo termine per il secondo fattore, perciò
![{\displaystyle {\frac {f\left(xz\right)}{f\left(z\right)}}={\frac {1+{\frac {1}{xz^{2}}}}{1+xz^{2}}}={\frac {1}{xz^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cfef73d382bb7d2f50664e1a97fb083a4dec7ea)
e quindi
![{\displaystyle xz^{2}f\left(xz\right)=f\left(z\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71594b9ea1eada5227fee237b602aa84015ee8d0)
Ora, definendo la funzione g come
![{\displaystyle g\left(z\right)=f\left(z\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1580148085b4e08f701180361d51115560b668)
![{\displaystyle g\left(xz\right)=f\left(xz\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5d55f86648d4275a90bb2fd62ce4b002818b8e)
da cui
![{\displaystyle xz^{2}g\left(xz\right)=g\left(z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56124e0aaadea0370a62e36e74de79c30e046a98)
la funzione g si può sviluppare in una serie di potenze
![{\displaystyle g\left(z\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7727a70c8a978b41b0e1f8c2dd6dbe4ea8c17fc)
che deve soddisfare
![{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=xz^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}\left(xz\right)^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}x^{2m+1}z^{2m+2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d09afa28ab5a21ec78875634cbdd6c71424216c)
con un cambio di indice m = m - 1 si ottiene
![{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m-1}x^{2m-1}z^{2m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abeebad561742c30cff86072419f003deae0f7e3)
da cui
![{\displaystyle a_{m}=a_{m-1}x^{2m-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc774712739abb568dfaaf5a5bf982c24d539aec)
quindi
![{\displaystyle a_{1}=a_{0}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee858bd0329226f4eb66c40e629c2c55bc5f1cb)
![{\displaystyle a_{2}=a_{1}x^{3}=a_{0}x^{1+3}=a_{0}x^{4}=a_{0}x^{2^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb00ea122fa8d4b3bb55f5cdb30d2e0b532d4c3)
![{\displaystyle a_{3}=a_{2}x^{5}=a_{0}x^{5+4}=a_{0}x^{9}=a_{0}x^{3^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e811dad966d4d96039d08da303a348fde097f)
....
allora
![{\displaystyle a_{m}=a_{0}x^{m^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6ea78dd02f88996ed9b25f5f8e5119ef5cdfcd)
ricordando le definizioni di f e g si ricava il triplo prodotto di Jacobi
![{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{m^{2}}z^{2m}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0de4796b1e90cbac443cd69f99193dbaa4b878)
- ^ Remmert, R. (1998). Classical Topics in Complex Function Theory (pp. 28-30). New York: Springer.