In matematica, una funzione contrattiva è una funzione tra spazi metrici che accorcia le distanze tra punti, ma in maniera più debole rispetto ad una contrazione.
Più precisamente,
funzione tra spazi metrici si dice contrattiva se
![{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))<d_{X}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a91e7a814d19be9268448417adf3a43408c64b2)
per ogni
in
tali che
(se
il secondo membro è nullo e dunque si otterrebbe
, che è un assurdo).
Una funzione contrattiva è in particolare una funzione continua.
Ogni contrazione è anche una funzione contrattiva. Un esempio di funzione contrattiva che non è una contrazione è la funzione
sullo spazio
(dotato della metrica euclidea).
Se
è uno spazio metrico,
un suo sottoinsieme compatto e
una funzione contrattiva, allora
ammette uno e un solo punto fisso, cioè un
in
tale che
.
- Dimostrazione
Sia
. Proviamone la continuità: sia
una successione in
convergente ad un
. È
, cioè
.
Analogamente si giunge a
, dunque vale che
.
Ma il secondo membro è infinitesimo al divergere di
per le ipotesi su
e per la continuità di
, dunque
, cioè
è continua.
Essendo definita su un compatto,
ammette minimo in
. Supponendo per assurdo
, abbiamo che
, contraddicendo l'assunzione che
raggiunga il suo minimo in
: dunque
.
Per l'unicità, se
è un altro punto fisso per
, allora
, che è impossibile.
Se
è uno spazio metrico,
un suo sottoinsieme compatto e
è tale che l'iterata
è contrattiva per qualche
naturale, allora
ammette un unico punto fisso.
- Dimostrazione
Per
si può applicare il teorema precedente, dunque esiste un unico punto
tale che
. Applicando ora la
a entrambi i membri otteniamo
, cioè
.
Ma allora anche
è un punto fisso per
, dunque per l'unicità del punto fisso per
abbiamo
.