L'equazione della corda vibrante è il caso unidimensionale dell'equazione delle onde, ed è usata per descrivere il fenomeno della corda vibrante. L'equazione per le vibrazioni libere della corda (equazione omogenea) è:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc45e0779edf76792b7208f122a12a7bac2548d)
mentre l'equazione per le corde vibranti forzate (o trasversali) è:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b11a86bec837420ad281426ce2b17a9aa0d71c)
In generale la soluzione dipende da due condizioni iniziali:
![{\displaystyle u(x,t=0)=w_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5be9fcdb2441673b9e491feb72a4de194a29a91)
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3d29999252602a5164a4de3c8c6a1e3ca5c0c9)
che in caso di corda infinita devono essere condizioni definite in tutto
. Nel caso la corda sia finita e di lunghezza
, si devono invece imporre le ulteriori condizioni sulla variabile
:
![{\displaystyle u(x=0,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd462c3f4c71a04800973ea8def58b686da45df5)
![{\displaystyle u(x=l,t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54b7e61f8f50004d8d84c7bc76f4a02d09e840c)
La soluzione di D'Alembert consiste nella sostituzione:
![{\displaystyle {\begin{cases}X=x-at\\Y=x+at\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d27ff2c907a15ee088ad4fae9a66dd26a6a36e1)
L'equazione omogenea si trasforma di conseguenza; derivando una prima volta:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial Y}}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=a\cdot \left({\frac {\partial u}{\partial Y}}-{\frac {\partial u}{\partial X}}\right)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671d228e63f31c6d8f3e51575da0e7a49fa8d009)
e derivando una seconda volta:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}+2\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial Y^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}\cdot \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}-2\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial Y^{2}}}\right)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a5163e252e1a5b42d308492e056bf04ce2a115)
Dunque:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23def24189aa0f7f77fd1ab8b43d01bd64051a1d)
la cui soluzione generale è data da:
![{\displaystyle u(X,Y)=g_{1}(X)+g_{2}(Y)=u(x,t)=g_{1}(x-at)+g_{2}(x+at)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0580e01e4b85e9b33872508912319f09ea0fd565)
Si determinano le due funzioni generiche
e
imponendo le condizioni iniziali:
![{\displaystyle {\begin{cases}u=g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=a\cdot \left(-g_{1}^{'}(x-at)+g_{2}^{'}(x+at)\right)=w_{2}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da541a452469b4d231d10a66dc6abf2302f3fc6)
da cui si ha:
![{\displaystyle {\begin{cases}g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\-g_{1}^{'}(x)+g_{2}^{'}(x)={\frac {w_{2}}{a}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b595fc20a07f2be6ade1d95a1d153993053e2cdf)
Si può integrare la seconda del sistema (cambiando segno):
![{\displaystyle g_{1}(x)-g_{2}(x)=-{\frac {1}{a}}\int _{0}^{x}w_{2}(z)dz+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31439c9ad7f7ced816ac387ff3eabbddbd924d5)
nella quale si impone
. Dal sistema:
![{\displaystyle {\begin{cases}g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\g_{1}(x)-g_{2}(x)=-{\frac {1}{a}}\int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc167841c5ad7ca3af22548c65694d708b477fd)
che diventa:
![{\displaystyle {\begin{cases}g_{1}(x)={\frac {1}{2}}w_{1}-{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\\g_{2}(x)={\frac {1}{2}}w_{1}+{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09990749e5872b7b42214c022bc7507bce485253)
si ha la soluzione dell'equazione vibrante libera:
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {w_{1}(x-at)+w_{1}(x+at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{x-at}^{x+at}w_{2}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb078c7c7935e46f6c94487528727d1bb2b2cc10)
- Nel caso le condizioni iniziali siano:
![{\displaystyle {\begin{cases}u(x,t=0)=w_{1}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073c377f0130edff99f4aa96785afa12cb4b2395)
- la soluzione diventa:
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {w_{1}(x-at)+w_{1}(x+at)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afce0ce31de41873d109581a6baa85a53a9374)
- Nel caso le condizioni iniziali siano:
![{\displaystyle {\begin{cases}u(x,t=0)=w_{1}=0\\{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061e86c5a982188854c26805cdaa4801db63f7f3)
- la nostra soluzione diventa:
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2a}}\cdot \int _{x-at}^{x+at}w_{2}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a494458361d756f32726659c99a727c74609988)
Nel caso di una corda di lunghezza finita di lunghezza
, con le condizioni aggiuntive ai limiti, è intuitivo usare il metodo di separazione delle variabili o "metodo di Fourier". Consiste nella ricerca di una soluzione particolare dell'equazione omogenea del tipo:
![{\displaystyle u=T(t)\cdot X(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37746ca1fbf427e3fb6b5be3704b187b507b9c46)
cioè con il prodotto di due termini, di cui uno dipendente solo dalla variabile
e l'altro solo dalla variabile
. Sostituendo nell'equazione omogenea e derivando due volte si ottiene:
![{\displaystyle X(x)\cdot T''(t)=a^{2}\cdot T(t)\cdot X''(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde1081d59b3d8131feca247184ac2711c830d10)
da cui:
![{\displaystyle {\frac {T''(t)}{a^{2}\cdot T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78989dbb5aeb0cb7e0ad152415e474ad99a192b6)
Affinché sussista la disuguaglianza, entrambi i membri devono essere uguali alla stessa costante:
![{\displaystyle {\frac {T''(t)}{a^{2}\cdot T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-K^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e7a73842a0d8b3887c2954da2ca2d9c14f7bbc)
dalla quale si ottengono due equazioni in una sola variabile:
![{\displaystyle {\begin{cases}X''(x)+K^{2}\cdot X(x)=0\qquad K\neq 0\\T''(t)+a^{2}\cdot K^{2}\cdot T(t)=0\qquad K\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249f414b3312b99f88787458f7818a7b6155a504)
Le soluzioni di queste equazioni sono del tipo:
![{\displaystyle {\begin{cases}X(x)=A\cos(Kx)+B\sin(Kx)\\T(t)=C\cos(aKt)+D\sin(aKt)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfa68145c312da63078ff48f8327aa6c374dc95)
Dunque la soluzione generale dell'equazione omogenea diverrebbe:
.
I coefficienti
e
si calcolano imponendo le condizioni ai limiti:
![{\displaystyle {\begin{cases}X(x=0)=A\cdot 1+B\cdot 0=0\\X(x=l)=A\cos(Kl)+B\sin(Kl)=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990780b7dfa9ae91911fbc2b2e6bda3c65cc857f)
da cui:
![{\displaystyle {\begin{cases}A=0\\B\sin(Kl)=0\qquad B\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c54054dea28897c9e2dda24740b7109c77bd5e)
e quindi:
![{\displaystyle K=\pm {\frac {n\pi }{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f739a3a1d35ebac6e70399d2b67d2fef289194)
La soluzione negativa è identica a quella positiva, per cui si considera solo quella positiva. Sapendo che la soluzione è:
.
dal momento che si tratta di una soluzione anche tutte le somme sono soluzioni; dunque si può scegliere
e sommare:
![{\displaystyle u=\sum _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\cos \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)+D_{n}\sin \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)\right]\cdot \sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b3c29d317019661f6c6c062f79cd821ccef8c6)
Ora si possono trovare i coefficienti
e
in modo da soddisfare le condizioni iniziali. Derivando quest'ultima rispetto a
e imponendo
si ottiene:
![{\displaystyle w_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}\qquad w_{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\pi a}{l}}\cdot D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6544552395b10736c987c962cd270a59ac81d7c)
che sono gli sviluppi in serie di Fourier delle
in serie di seni in
. In definitiva:
![{\displaystyle C_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}w_{1}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\qquad D_{n}={\frac {2}{n\pi a}}\int _{0}^{l}w_{2}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac1c6e034ed1510b623c53f70676103cc0564dd)
che sostituiti forniscono la soluzione:
![{\displaystyle u=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}w_{1}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\right)\cos \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)+\left({\frac {2}{n\pi a}}\int _{0}^{l}w_{2}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\right)\sin \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)\right]\cdot \sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8c2f36b1e5a408a6c401bcd6f7060ec04f8239)
- (EN) Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
- (EN) Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics 57 (5): 408.