In matematica, la divisione dei polinomi detta anche divisione lunga è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili[1].
Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi
e
esistono unici altri due polinomi
e
tali che:
![{\displaystyle A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f495f43c1b07a29f68fdf79c6972b32b4914c2)
posto che il grado di
sia minore di quello di
. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.
Il grado di
sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di
e quello di
.
Nel caso in cui
,
sarebbe divisibile per
.
L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi[2]:
- Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di
(ad esempio,
andrà scritto come
).
![{\displaystyle A(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b078651e6d1a522e8955b73059fbd63e13aec616) |
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- Si divide il termine di grado massimo di
per il termine di grado massimo di
e si scrive il risultato sotto
.
![{\displaystyle a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f506c33004e8dc037782a620e6fe94df16110e23) |
![{\displaystyle +\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca4de3bf9da20d137815a24e5ebf53826a0d89) |
![{\displaystyle +a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b86971c8735c6f8deaa0edf47dfb2e7861fa57a) |
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- Si moltiplica questo termine
per il polinomio
e si scrive il risultato sotto
, incolonnando ogni termine sotto il termine di
di grado uguale.
![{\displaystyle a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f506c33004e8dc037782a620e6fe94df16110e23) |
![{\displaystyle +\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca4de3bf9da20d137815a24e5ebf53826a0d89) |
![{\displaystyle +a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b86971c8735c6f8deaa0edf47dfb2e7861fa57a) |
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![{\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72361053de07ff70b41b601bf2746e62edfc9809) |
![{\displaystyle +\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca4de3bf9da20d137815a24e5ebf53826a0d89) |
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- Si esegue la sottrazione tra
e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in
si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (
o anche meno).
![{\displaystyle a_{n}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f506c33004e8dc037782a620e6fe94df16110e23) |
![{\displaystyle +\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca4de3bf9da20d137815a24e5ebf53826a0d89) |
![{\displaystyle +a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b86971c8735c6f8deaa0edf47dfb2e7861fa57a) |
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![{\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72361053de07ff70b41b601bf2746e62edfc9809) |
![{\displaystyle +\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca4de3bf9da20d137815a24e5ebf53826a0d89) |
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![{\displaystyle //+r_{n-1}x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4725abe7112e797c8e16949a349af6fff450e8d9) |
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![{\displaystyle +r_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf77d2e7e470e5a55b5aac704ee847d6c229e63) |
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- Se il grado di questo polinomio differenza
è maggiore o uguale a quello di
si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso
come dividendo e aggiungendo il termine
![{\displaystyle {\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4f474b7887e547ea8a9ecdd67355c5e9bcc1b7)
a destra del termine
, come addendo successivo.
- Quando si sarà raggiunto un polinomio
di grado inferiore a
, allora tale polinomio
sarà il resto
della divisione; il polinomio
![{\displaystyle Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a84b74a333e9fc92a6bc55520331e511d7ad41b)
formatosi mano a mano sotto
, sarà invece il polinomio quoziente.
Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.
Dividiamo il polinomio
![{\displaystyle A(x)=3x^{4}-x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec69eb81431b2a72cbb0b659874ff71a1336882)
per il polinomio
![{\displaystyle B(x)=x^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f02ab040d8167a51ebedff26a27a8f877a8806)
Scriviamo i due polinomi
e
come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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Dividiamo il termine di grado massimo di
, che risulta essere
, per il termine di grado massimo di
, che è
e scriviamo il risultato sotto
.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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Ora scriviamo, sotto
, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio
. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di
e del polinomio scritto sotto
, sono uguali.
Ora sottraiamo
con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio
.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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Il grado di
è maggiore di quello di
, dunque iteriamo il procedimento.
Dividiamo il termine di grado massimo di
che risulta essere
per il termine di grado massimo di
e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere
, per il polinomio
e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto
.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bb0c7a8f481db42dc00c1f43d3830a99519d1) |
![{\displaystyle +0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea077ea7f869f9514419b3b5887c10e8299af3cf) |
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Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio
e il polinomio scritto sotto per ottenere
.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bb0c7a8f481db42dc00c1f43d3830a99519d1) |
![{\displaystyle +0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea077ea7f869f9514419b3b5887c10e8299af3cf) |
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Dato che il grado di
non è inferiore a quello di
dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.
Dividiamo il termine di grado superiore di
per il termine di grado superiore di
.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bb0c7a8f481db42dc00c1f43d3830a99519d1) |
![{\displaystyle +0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea077ea7f869f9514419b3b5887c10e8299af3cf) |
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Moltiplichiamo
per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto
.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bb0c7a8f481db42dc00c1f43d3830a99519d1) |
![{\displaystyle +0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea077ea7f869f9514419b3b5887c10e8299af3cf) |
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![{\displaystyle 6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350f29756e1193125113bc7a9d59997023e06292) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
![{\displaystyle -12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b31585278d9459cb33f3083b807d1096d88bc89) |
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Eseguiamo la sottrazione tra
e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio
.
![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle 3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5b8f0e8673262b6be38afbd0c74a079df16925) |
![{\displaystyle +0x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845f60a3f9aff2099705b637317c7eadd861f9bd) |
![{\displaystyle -6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2696409d4bf83fe4d51eb714cdcad46bf7631497) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
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![{\displaystyle -x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2613026fb2039ecd0b6729be70e4382d3bf233e5) |
![{\displaystyle +0x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454f74fbd0b8aca1833ca2d93ae8b2203d3e30c3) |
![{\displaystyle +2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bb0c7a8f481db42dc00c1f43d3830a99519d1) |
![{\displaystyle +0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea077ea7f869f9514419b3b5887c10e8299af3cf) |
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![{\displaystyle 6x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350f29756e1193125113bc7a9d59997023e06292) |
![{\displaystyle +0x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec648b05cc727143b6db059730476cc65805901e) |
![{\displaystyle -12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b31585278d9459cb33f3083b807d1096d88bc89) |
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Siamo giunti a
, che ha grado strettamente minore di
, dunque il resto è
![{\displaystyle R(x)=R_{3}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f588ed60c0a523cd25a79f406e43e60648dfebd)
e il quoziente della nostra divisione è
![{\displaystyle Q(x)=3x^{2}-x+6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3134e269f37e9987992a628e0755168d13b32e0)
possiamo quindi scrivere
![{\displaystyle {\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808f6b090800b4a50993a606e846511d3d844be8)
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma
o
, un binomio di primo grado[3]. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.
- ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.19
- ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. pp.20-21
- ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.24
- Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.