Distribuzione di Rayleigh |
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Funzione di densità di probabilità
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Funzione di ripartizione
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Parametri |
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Supporto |
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Funzione di densità |
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Funzione di ripartizione |
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Valore atteso |
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Mediana |
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Moda |
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Varianza |
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Indice di asimmetria |
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Curtosi |
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Entropia | ![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}\log {\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ce5c640ee6cbe3be15ab6b107fb123bf68cbef) con la costante di Eulero-Mascheroni
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Funzione generatrice dei momenti | ![{\displaystyle 1+{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}{\Big (}{\text{erf}}{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}+1{\Big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f99af27227c222f17491e35b04836afbd08d741) con erf la funzione degli errori
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Funzione caratteristica | ![{\displaystyle 1-{\sqrt {\tfrac {\pi \sigma ^{2}}{2}}}te^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}{\Big (}w{\big (}{\sqrt {\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}}t{\big )}-i{\Big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6613fb1d3c0fa983b835028efca97146e2c2b78) con w la funzione degli errori complessa
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Manuale |
In teoria delle probabilità la distribuzione di Rayleigh è una distribuzione di probabilità che descrive la distanza dall'origine di un punto
nel piano euclideo le cui coordinate siano indipendenti e seguano entrambe la distribuzione normale centrata.
Prende il nome da Lord Rayleigh.
La distribuzione di Rayleigh di parametro
descrive la variabile aleatoria
, dove
e
sono variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzione normale
.
La sua funzione di densità di probabilità è
.
Questa si può ottenere direttamente dalla densità di probabilità della distribuzione normale,
, sfruttando l'isotropia del vettore
:
.
La sua funzione di ripartizione è
.
La variabile aleatoria
segue la distribuzione di Rayleigh di parametro
.
La variabile aleatoria
con distribuzione di Rayleigh di parametro
ha
![{\displaystyle \mu _{n}=E[Z^{n}]=(2\sigma ^{2})^{\frac {n}{2}}\Gamma (1+{\tfrac {n}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a41666070235f8b0235658fcb327e0913c8b807)
dove
è la funzione Gamma, con
se
è pari.
In particolare si ottengono
;
;
e
.
I quantili
di ordine
sono
;
in particolare
- la mediana è
.
Secondo il metodo della massima verosimiglianza lo stimatore del parametro
di
variabili aleatorie indipendenti con medesima distribuzione di Rayleigh è
.
Se
segue la distribuzione di Rayleigh di parametro
allora
segue la distribuzione chi quadrato
, ovvero la distribuzione esponenziale
.
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann estende a tre dimensioni la distribuzione di Rayleigh, descrivendo la distanza
dall'origine di un vettore
nello spazio euclideo a tre dimensioni, le cui coordinate siano indipendenti e seguano la medesima legge normale centrata.
La distribuzione di Rice generalizza invece la posizione del punto
, prendendo
e
non centrate.
Anche la distribuzione di Weibull è una generalizzazione della distribuzione di Rayleigh, fornendo un'interpolazione tra la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Rayleigh.