Distanza di Hausdorff
In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Hausdorff_distance_sample.svg/220px-Hausdorff_distance_sample.svg.png)
Dato uno spazio metrico e due sottoinsiemi definiamo qualche quantità preliminare: si dice distanza di un punto dall'insieme la quantità
- .
Si definisce eccedenza di A su B la quantità
- .
Si definisce dunque distanza di Hausdorff tra e la quantità
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]La distanza di Hausdorff è una funzione . Essa soddisfa le seguenti proprietà:
- se allora
Tali proprietà la rendono una pseudometrica sull'insieme delle parti di . Essa soddisfa anche l'ultima proprietà di una metrica (cioè implica ) se e sono chiusi.
Campi applicativi
[modifica | modifica wikitesto]La distanza di Hausdorff consente di definire un concetto di continuità per multifunzioni, cioè per funzioni . Se si munisce della distanza di Hausdorff ed è uno spazio quantomeno topologico, è naturale dire continua in se
- per ogni esiste un intorno di tale che per ogni in quell'intorno è .
Al di fuori della matematica, la distanza di Hausdorff trova utilizzo in svariati campi di ricerca tra cui la computer vision e la bioinformatica. Sovente si applicano varie metriche onde trovare una stima affidabile dell'errore.
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