Disequazione biquadratica

Una disequazione biquadratica è una particolare disequazione di quarto grado che si presenta nella forma:

$ax^{4}+bx^{2}+c>0$ $\;\;\;\;$(o $\geq ,\leq ,<$),

dove $a,b,c$ sono numeri reali (oppure complessi) con $a\neq 0$.

Risoluzione

L'equazione associata alla disequazione $ax^{4}+bx^{2}+c>0$ è un'equazione biquadratica che si risolve imponendo la sostituzione $x^{2}=t$.

La disequazione data diventa pertanto una disequazione di secondo grado nella variabile $t$:

$at^{2}+bt+c>0$

che viene risolta nell'usuale modo. Una volta trovate le soluzioni, è necessario operare la sostituzione inversa per trovare (se esistono) gli intervalli della variabile $x$ che soddisfano la disequazione di partenza.

Esempio

Si risolva la disequazione:

$2x^{4}+5x^{2}-12\geq 0$

Operando la sostituzione $x^{2}=t$, si ottiene la disequazione di secondo grado completa:

$2t^{2}+5t-12\geq 0$,

che ha soluzioni $t\leq -4$ e $t\geq {\frac {3}{2}}$. Ritornando nella variabile $x$, si ottiene:

• $x^{2}\leq -4\;\;$ che non possiede soluzioni nel campo dei numeri reali.
• $x^{2}\geq {\frac {3}{2}}\;\;$, che a sua volta è una disequazione di secondo grado pura con soluzioni $x\leq -{\frac {\sqrt {6}}{2}}\;\;$ e $x\geq {\frac {\sqrt {6}}{2}}$.

Si noti che nell'insieme dei numeri complessi una disequazione, così come un'equazione, di quarto grado possiede sempre $4$ soluzioni (tante quante sono il suo grado) che possono essere tutte reali, oppure tutte complesse, oppure $2$ reali opposte e $2$ complesse coniugate.

Bibliografia

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (seconda edizione) Vol.3, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-53781-2.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
• Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.

Voci correlate

• Disequazione
• Disequazione intera
• Disequazione di secondo grado