Utente:Sibo/Sandbox

Gli angoli di Eulero furono introdotti per descrivere l'orientamento di un corpo rigido nello spazio e si compongono di tre angoli distinti.

Descrizione

Le generiche coordinate $a_{1}$ , $a_{2}$ ed $a_{3}$, necessarie per specificare la configurazione della terna solidale rispetto a quella assoluta possono essere scelte in diversi modi. Tuttavia ai fini della trattazione dei problemi legati alla descrizione di moti rigidi è utile scegliere una descrizione che semplifichi le relazioni. Un modo intuitivo sarebbe quindi quello di utilizzare tre coseni direttori della terna solidale, scelti convenientemente rispetto a quella assoluta. In genere però risulta più agevole l'utilizzo dei cosiddetti angoli di eulero che offrono una serie di vantaggi rispetto a qualsiasi altra scelta. Come suggerisce già il nome, gli angoli di eulero espressi tramite le variabili $\phi \theta \psi$ sono valibili angolari ognuna delle quali descrive una rotazione attorno ad uno degli assi . Questi consentono quindi di rappresentare la posizione assoluta rispetto alla terna solidale tramite una composizione di tre rotazioni che verranno di seguito illustrate.

• La prima rotazione della terna 0xyz tramite l'angolo $\phi$ avviene attorno all'asse Oz. Dalla suddetta rotazione si ricava una terna ausiliaria Ox'y'z', tale che Oz=Oz'. L'angolo $\phi$ è anche detto angolo di precessione.

• Dalla terna Ox'y'z' si passa ad una seconda terna ausiliaria tramite la rotazione $\theta$ che avviene attorno al nuovo asse delle ascisse Ox', dal quale si ricava la seconda terna ausiliaria Obcd. Analogamente a prima vale la relazione Ox'=Ob. L'angolo di rotazione $\theta$ viene anche detto angolo di nutazione.

• Infine si effettua una terza ed ultima rotazione dell'angolo $\psi$ attorno all'asse Oc, dal quale si ricava la terna solidale OXYZ. La rotazione dell'angolo $\psi$ è anche chiamata rotazione di spin.

Appare quindi evidente che per ogni scelta degli angoli euleriani sia sempre individuata univocamente la posizione della terna solidale OXYZ rispetto alla terna fissa qualora per gli angoli euleriani si assumano gli intervalli di definizione

$0\;\leq \phi \;<2\pi$

$0\;<\theta \;<\pi$

$0\;\leq \psi \;<\pi$.

Di conseguenza ad ogni posizione assegnata della terna solidale corrisponde l'unica tripletta di valori delle variabili $\phi \theta \psi$. Si escludono solamente le configurazioni che vedono gli assi Oz e OZ sovrapposti i quali corrispondono a $\theta =0$ per assi concordi e $\theta =\pi$ per assi discordi. Di fatto l'angolo di nutazione può sempre definirsi con il più piccolo angolo tra le direzioni degli assi coordinati Oz e OZ.

Definizione

Angoli di Eulero - Il sistema fisso (xyz) è rappresentato in blu, e il sistema ruotato (XYZ) è rappresentato in rosso. La linea dei nodi, indicata con N, è rappresentata in verde.

Gli angoli di Eulero descrivono l'orientamento di un sistema di riferimento XYZ solidale con un corpo rigido attraverso una serie di rotazioni a partire da un sistema di riferimento fisso xyz.

L'intersezione dei piani xy e XY è la linea dei nodi (N).

• α è l'angolo tra l'asse x e la linea dei nodi.
• β è l'angolo tra gli assi z e Z.
• γ è l'angolo tra la linea dei nodi e l'asse X

Collegamenti esterni

[[categoria:Geometria solida]]