Utente:SILSISzasca/Similitudine nel piano complesso

Definizione

Si definisce similitudine nel piano complesso, di rapporto $k$, la composizione di un'isometria (si veda trasformazione geometrica piana) del piano complesso e di una omotetia nel piano complesso di rapporto $k$, con $k$ numero reale non nullo.

Le trasformazioni simili possono essere suddivise in similitudini dirette e similitudini inverse.

Similitudine diretta

È la trasformazione data da

${\begin{matrix}\Sigma :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=az+b\end{matrix}}$

con $\,|a|=k\,$ e $a,b\in \mathbb {C}$.

Proprietà

Si osserva che:

• se $a=1$ e $b=0$, la trasformazione è l’identità $z'=z$ e tutti i punti sono uniti (si veda trasformazione geometrica piana);
• se $a=1$ e $b$ è diverso da 0, la trasformazione è una traslazione $z'=z+b$, quindi nessun punto è unito;
• se $a$ è diverso da 1, la trasformazione ha un solo punto unito $W$ corrispondente del numero complesso $w$ soluzione dell’equazione $\,w=aw+b\,$, cioè

$w={\frac {b}{1-a}}$

.

Similitudine indiretta

È la trasformazione data da

${\begin{matrix}\Sigma :&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=a{\overline {z}}+b\end{matrix}}$

con $\,|a|=k\,$ e $a,b\in \mathbb {C}$.

Esempio

Studio della trasformazione $\,z'=2(1-i)z-3i\,$.

Questa è una similitudine diretta relativa ai parametri:

$\,a=2(1-i)\,$ e $\,b=-3i\,$

.

Il punto unito $W(w)$ si ottiene risolvendo l’equazione $\,w=2(1-i)w-3i\,$.

Svolgendo i calcoli quindi

$W={\frac {-3i}{1-2\left(1-i\right)}}={\frac {3i}{1-2i}}={\frac {3i\left(1+2i\right)}{5}}=-{\frac {6}{5}}+{\frac {3}{5}}i$

.

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