Utente:M&M987/Sandbox4

Bignamino di RG

Tensore metrico

Prima di tutto, in ogni punto dello spazio-tempo è definito un tensore metrico che stabilisce la distanza tra due punti infinitamente vicini. Nella relatività ristretta, con le coordinate euclidee $\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}\,\!$, il tensore metrico g_μν assume la forma semplice:

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\left\{{\begin{matrix}-1&{\text{se}}\,\mu =\nu =0\\1&{\text{se}}\,\mu =\nu =1,2,3\\0&{\text{se}}\,\mu \neq \nu \end{matrix}}\right.$

In generale però il tensore metrico è una funzione non banale delle coordinate, come ad esempio nella metrica di Schwarzschild, storicamente la prima soluzione delle equazioni di campo ad essere trovata, qui espressa nelle coordinate sferiche $\{x^{0},r,\theta ,\phi \}\,\!$:

$g_{00}=-\left(1-{\frac {2m}{r}}\right);\quad g_{rr}={\frac {1}{\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)}};\quad g_{\theta \theta }=r^{2};\quad g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$

con tutti gli altri termini pari a zero.

Equazione delle geodetiche e simboli di Christoffel

In meccanica classica, una particella che non è sottoposta a forze si muove di moto rettilineo uniforme. La stessa cosa avviene in relatività ristretta: la linea di universo della particella, parametrizzata in funzione del tempo proprio, è:

${\frac {{\mbox{d}}^{2}x^{\mu }}{{\mbox{d}}\tau ^{2}}}=0$

Questa equazione in realtà è un set di 4 equazioni, che esprimono il moto rettilineo uniforme di ognuna delle quattro componenti della posizione (μ = 0 indica la coordinata temporale, mentre μ = 1,2,3 indica le componenti spaziali). Con un cambiamento di coordinate ci si accorge che la forma generale dell'equazione è:

${\frac {{\mbox{d}}^{2}x^{\mu }}{{\mbox{d}}\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\frac {{\mbox{d}}x^{\alpha }}{{\mbox{d}}\tau }}{\frac {{\mbox{d}}x^{\beta }}{{\mbox{d}}\tau }}$

Questa è la generalizzazione più ampia possibile del principio d'inerzia galileiano. Si può dimostrare, attraverso il calcolo variazionale, che questa equazione identifica le linee d'universo che minimizzano la distanza tra due punti. Le grandezze $\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }$ si chiamano coefficienti della connessione affine o simboli di Christoffel e sono legati alle derivate parziali prime del tensore metrico rispetto le coordinate:

$\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \mu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}g_{\lambda \beta }+{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}g_{\alpha \lambda }-{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}g_{\alpha \beta }\right)$

oppure, con una notazione più compatta:

$\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \lambda }\left(g_{\lambda \beta {,}\alpha }+g_{\alpha \lambda {,}\beta }-g_{\alpha \beta {,}\lambda }\right)$

Il moto del corpo in caduta libera dipende quindi dalle derivate del tensore metrico: come analogo classico si può pensare al tensore metrico come ad un equivalente del potenziale gravitazionale. I simboli di Christoffel dicono di quando la geodetica si allontana dalla retta a causa della deformazione dello spazio-tempo: nello spazio-tempo piatto i simboli di Christoffel sono infatti nulli e vale il principio d'inerzia galileiano.

Tensore di curvatura, tensore energia impulso ed equazioni di Einstein

L'equazione delle geodetiche ci dice quindi come un corpo venga deviato dalla curvatura dello spazio-tempo. Si dimostra che le informazioni sulla curvatura sono completamente espresse da un tensore, chiamato tensore di Riemann, legato ai simboli di Christoffel nel seguente modo:

${R^{\alpha }}_{\beta \mu \nu }=\Gamma _{\beta \nu {,}\mu }^{\alpha }-\Gamma _{\beta \mu {,}\nu }^{\alpha }+\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\beta \nu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\beta \mu }^{\sigma }$

Dato che nei simboli di Christoffel compaiono le derivate prime del tensore metrico, nel tensore di Riemann compaiono le derivate seconde del tensore metrico in forma lineare e le derivate prime non linearmente. Dal tensore di Riemann si possono costruire, tramite contrazione con la metrica, due oggetti matematici anch'essi legati alla curvatura, il tensore di Ricci

$R_{\alpha \mu }=g^{\beta \nu }R_{\alpha \beta \mu \nu }\,\!$

e lo scalare di curvatura:

$R=g^{\alpha \mu }R_{\alpha \mu }=g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }R_{\alpha \beta \mu \nu }\,\!$

Le informazioni sulla materia e sull'energia contenuta nello spazio-tempo vengono codificate nel tensore energia impulso, che assume diverse forme a seconda che riguardi un insieme di punti materiali, un fluido, un'onda elettromagnetica ecc. Per esempio, per un insieme di punti materiali il tensore energia impulso è definito come:

$T^{\alpha \beta }=\sum _{n=1}^{N}p_{(n)}^{\mu }{\frac {\partial \xi _{(n)}^{\nu }}{\partial \tau }}\delta \left({\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}_{(n)}\right)$

Einstein formulò l'ipotesi che la materia e l'energia influenzassero lo spazio-tempo attraverso la cosiddetta equazione di campo di Einstein. Definendo il tensore di Einstein nel seguente modo:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R$

le equazioni di Einstein hanno la forma:

$G_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

dove c è la velocità della luce nel vuoto e G la costante di gravitazione universale. Dato che il tensore di Ricci e lo scalare di curvatura contengono le derivate prime e seconde del tensore metrico, queste equazioni rappresentano un sistema di 16 equazioni differenziali alle derivate parziali: risolvendole si trova, a tutti gli effetti, la forma dello spazio-tempo indotta dalla materia e dall'energia in esso presenti.