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campionamento

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altra voce

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Teorema di Nyquist

Il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon definisce il minimo della la frequenza di campionamento di un segnale, necessario per evitare distorsioni dello stesso.

Dato un segnale, con larghezza di banda finita e nota, la frequenza minima di campionamento di tale segnale deve essere almeno il doppio della sua massima frequenza.

Il teorema, comparso per la prima volta nel 1949 in un articolo di C. E. Shannon, dovrebbe chiamarsi Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, secondo l'ordine cronologico di chi ne dimostrò versioni via via più generalizzate.

File:Analog 1.png

File:Sample 1.png

Il campionamento è un passo del processo di conversione analogico-digitale di un segnale. Consiste nel prelievo di campioni (samples) da un segnale analogico e continuo nel tempo ogni $\Delta t\,\!$ secondi.

$\Delta t\,\!$ è l'intervallo di campionamento, mentre $F_{s}={\frac {1}{\Delta t}}$ è la frequenza di campionamento. Il risultato è un segnale analogico in tempo discreto. Tale segnale sarà in seguito quantizzato, codificato e quindi reso accesstibile a qualsiasi elaboratore digitale.

In pratica il teorema del campionamento pone un vincolo per la progettazione di apparati di conversione analogico-digitale: se si ha a disposisione un campionatore che lavora a frequenza $F_{s}\,\!$, è necessario mandargli in ingresso un segnale a banda limitata da ${\frac {F_{s}}{2}}\,\!$.
In generale un segnale analogico non è limitato in frequenza, ma dovrà essere filtrato per eliminare le componenti di frequenza maggiore di ${\frac {F_{s}}{2}}\,\!$, a tale scopo di usa un filtro anti-alias.

Enunciato

Un segnale $f(t)\,\!$ a banda limitata da $f_{M}\,\!$ può essere univocamente ricostruito dai suoi campioni $f(n\Delta t)\ (n\in \mathbb {N} )\,\!$ presi a frequenza $F_{s}={\frac {1}{\Delta t}}\,\!$, se $F_{s}\geq 2f_{M}\,\!$.

Dimostrazione

Sia $F(\omega )\,\!$ la trasformata di fourier di $f(t)\,\!$. Poichè $f(t)\,\!$ ha come limite di banda $f_{M}\,\!$, risulta $f(\omega )=0\,\!$ per $|\omega |>2\pi f_{M}\,\!$. Sia $W={\frac {F_{s}}{2}}\,\!$, allora per ipotesi: $W\geq f_{M}\ \longrightarrow \ F(\omega )=0;\ \forall \ |\omega |>2\pi W\,\!$.

Fig. 1: La funzione $F(\omega )\,\!$

Sia $Q(\omega )\,\!$ la funzione periodica di periodo $4\pi W\,\!$ che coincide con $F(\omega )\,\!$ nell'intervallo $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$.

Fig. 2: La funzione $Q(\omega )\,\!$ è la trasformata di fourier del segnale campionato $f(n\Delta t)\,\!$. Come si nota è periodica di periodo $4\pi W\,\!$ e coincide con $F(\omega )\,\!$ in $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$.

Il suo sviluppo in serie di Fourier sara:

$Q(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{j{\frac {n}{2W}}\omega }\qquad {\textrm {dove}}\qquad c_{n}={\frac {1}{4\pi W}}\int _{-2\pi W}^{2\pi W}Q(\omega )e^{-j{\frac {n}{2W}}\omega }d\omega \,\!$

Poichè $Q(\omega )=F(\omega )\,\!$ in $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$ possiamo porre:

$c_{n}={\frac {1}{4\pi W}}\int _{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega )e^{-j{\frac {n}{2W}}\omega }d\omega$

$(1)\,\!$

Osserviamo ora che $f(t)\,\!$ è l'antitrasformata di Fourier di $F(\omega )\,\!$, cioè:

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$

$(2)\,\!$

Dalle $(1)\,\!$ e $(2)\,\!$ si ottiene:

$c_{n}={\frac {1}{2W}}f(-{\frac {n}{2W}})=\Delta tf(-n\Delta t)\ {\textrm {Ricordiamo}}\ {\textrm {che:}}\ W={\frac {F_{s}}{2}}={\frac {1}{\Delta t}}\,\!$

Definiamo:

$rett_{W}(\omega )=\left\{{\begin{matrix}1\ &{\textrm {se}}\ |\omega |\leq 2\pi W\\0\ &{\textrm {se}}\ |\omega |>2\pi W\end{matrix}}\right.\,\!$

allora:

$F(\omega )\,\!$	$=Q(\omega )\cdot rett_{W}(\omega )\,\!$
	$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{j{\frac {n}{2W}}\omega }rett_{W}(\omega )\,\!$
	$=\Delta t\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(-n\Delta t)e^{jn\Delta t\omega }rett_{W}(\omega )\,\!$	$(3)\,\!$
$f(t)\,\!$	$={\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]\,\!$
	$=\Delta t\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k\Delta t){\frac {sin({\frac {\pi }{\Delta t}}t-k\pi )}{\pi (t-k\Delta t)}}\,\!$	$(4)\,\!$

La $(3)\,\!$ e la $(4)\,\!$ mostrano che $F(\omega )\,\!$ ,e quindi anche la sua antitrasformata $f(t)\,\!$, possono essere ricostruite sulla base della conoscenza di $f(n\Delta t)\,\!$ , come volevasi dimostrare.

Spiegazione

Fig. 3: Se $F(\omega )\,\!$ ha componenti in frequenza maggiori di ${\frac {F_{s}}{2}}\,\!$ allora le ripetizioni periodiche di $Q(\omega )\,\!$ si sovrappongono ed il segnale ricostruito $(4)\,\!$ risulta distorto.

Lo spettro di un segnale campionato (Fig. 2 e 3) è uguale allo spettro del segnale originale ripetuto periodicamente in frequenza. Il periodo di questa ripetizione è uguale alla metà della frequenza di campionamento $F_{s}\,\!$, quindi se la frequenza massima del segnale originale supera ${\frac {F_{s}}{2}}\,\!$ (Fig. 3) le ripetizioni nello spettro del segnale campionato si sovrappongono. Questa sovrapposizione rende impossibile l'esatta ricostruzione del segnale originale e tale ricostruzione risulterà distorta (effetto aliasing). Per questo motivo ogni apparato di conversione analogico-digitale ha un filtro anti-alias a monte del campionatore, il ruolo di tale filtro è quello di eliminare dal segnale in ingresso le componenti di frequenza maggiori della metà della frequenza di campionamento dell'apparato ${\frac {F_{s}}{2}}\,\!$.

Nota

Se si ha a disposizione un'apparato di conversione A/D che lavora ad una data frequenza $F_{s}\,\!$ e si è interessati alle componenti di di un segnale che superano ${\frac {F_{s}}{2}}\,\!$ si possono seguire strade diverse:

1. Comprare uno strumento più veloce
2. Utilizzare tecniche di sottocampionamento

La seconda opzione è realizzabile quando le frequenze di interesse sono racchiuse in un range $\Delta F=F_{max}-F_{min}<{\frac {F_{s}}{2}}\,\!$, anche se sia $F_{max}\,\!$ che $F_{min}\,\!$ superano ${\frac {F_{s}}{2}}\,\!$ (quello che conta è la differenza). In questo caso tuttavia il limite imposto dal teorema del campionamento non è più sufficiente a garantire un campionamento corretto.

Per altri dettagli e applicazioni consultare [1]

Voci correlate

• Trasformata di Fourier
• Aliasing
• campionamento

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Altra voce

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Aliasing

In statistica, elettronica, ottica e teoria dell'informazione i segnali analogici vengono spesso convertiti in digitale per essere successivamente archiviati ed elaborati. Durante questa conversione analogico-digitale il segnale viene campionato ad intervalli regolari e successivamente ricostruito. L'aliasing o equivocazione è il fenomeno per il quale un segnale campionato, una volta ricostruito, risulta distorto.; questo costituisce un serio problema che si riflette direttamente sull'uscita del sistema in esame, alterandone la veridicità. L'aliasing può verificarsi sia nel tempo (aliasing temporale) che nello spazio (aliasing spaziale).

Campionamento di un segnale sinusoidale

Esempio di aliasing dovuto ad un campionamento a fequenza insufficiente

Campionando un segnale sinusoidale con una certa frequenza l'insieme dei punti che si acquisiscono non permettono di identificare univocamente una sola sinusoide. Dato che, tramite l'analisi di Fourier, ogni segnale continuo può essere visto come sovrapposizione di seni e coseni risulta importante in teoria dei segnali riuscire a limitare questa ambiguità.

Aliasing (2)

L'Aliasing o equivocazione è un fenomeno legato alla conversione analogico-digitale dei segnali. La conversione dei segnali da analogico a digitale è una tecnologia utilizzata in molti campi che, tramite l'uso di elaboratori digitali, permette di estrarre da un segnale il maggior numero di informazioni. Durante la conversione il segnale viene campionato, cioè se ne legge il valore ad intervalli regolari nel tempo. L'aliasing si presenta quando, campionando un segnale, non si rispetta il criterio di Nyquist.

Il criterio di Nyquist è una conseguenza del Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon ed impone di campionare un segnale ad una frequenza doppia della massima frequenza del segnale stesso.

Esempi

Esempio di aliasing dovuto ad un campionamento a fequenza insufficiente

In figura si vedono due segnali sinusoidali. Supponiamo di aver campionato la sinusoide rossa, e che i quadratini indichino i valori di tale segnale agli istanti di campionamento. La distanza tra un campione e l'altro è maggiore del periodo del segnale campionato ed i valori campionati sono gli stessi che avremmo ottenuto campionando il segnale blu. La sola conoscenza dei valori ottenuti campionando il segnale non ci permette di sapere se questi sono stati prelevati dal segnale rosso o da quello blu, da questa ambiguità il termine alias (pseudonimo, falso nome). Il segnale rosso, campionato a frequenza insufficiente, si presenta sotto il falso nome di blu.

Un altro possibile esempio è il seguente: sia $S(t)=\sin(2\pi F_{1}t)+\sin(2\pi F_{2}t)+\sin(2\pi F_{3}t)$ un segnale composto dalla somma di tre sinusoidi con frequenze $F_{1}$, $F_{2}$ ed $F_{3}$ rispettivamente uguali a 2, 3 e 5 Hz.

Secondo il criterio di Nyquist se volessimo convertire in digitale S(t) dovremmo campionare ad una frequenza maggiore di $2F_{3}$ (>10Hz), ipotizziamo invece di campionare con frequenza maggiore del doppio della frequenza $F_{2}$, ma minore del doppio di $F_{3}$, ad esempio $F_{s}=7$ Hz ($2F_{2}<F_{s}<2F_{3}$).

Note

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Altra voce

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Filtri digitali ad onda

I filtri digitali ad onda o WDF Wave Digital Filters sono uno strumento matematico per l'integrazione di sistemi di equazioni differenziali descriventi reti elettriche a costanti concentrate. La teoria è stata sviluppata principalmente da Alfred Fettweiss alla fine degli anni 60 e compare per la prima volta nell'articolo [1].

Il componente elementare di una rete elettrica è il bipolo, un oggetto a due terminali per cui è possibile definire due segnali coniugati, corrente e tensione. La relazione tra corrente e tensione è regolata dall'impedenza. Nel dominio Z abbiamo:

$V(z)=Z(z)\cdot I(z)$

$(1)\,\!$

Il nucleo della teoria dei filtri digitali ad onda è di integrare sistemi di equazioni differenziali, anche molto complessi, decomponendoli in sottounità elementari(i bipoli nel caso di reti elettriche), regolate da relazioni del più basso ordine possibile.

A questo scopo non è però possibile utilizzare i segnali corrente e tensione, perchè non si può, nel discreto, scrivere relazioni in cui V[n] sia indipendente da I[n] o viceversa (dove n è l'ennesimo intervallo di campionamento). L'impossibilità di eliminare la dipendenza istantanea tra corrente e tensione impedisce la realizzazione di un algoritmo risolutivo dell'equazione alle differenze finite.

Bipoli

La soluzione al problema della dipendenza istantanea tra corrente e tensione è quella di introdure due nuovi segnali di ingresso-uscita che chiameremo A e B, tali che:

$B(z)=\Gamma (z;\rho )A(z)\,\!$

$(2)\,\!$

Con:

$\Gamma (z;\rho )={\frac {Z(z)-\rho }{Z(z)+\rho }}$

Infatti se:

$\left\{{\begin{array}{l}A(z)=V(z)+\rho I(z)\\B(z)=V(z)-\rho I(z)\end{array}}\right.$

con pochi e semplici passaggi la (1) può essere scritta come la (2). Il termine $\Gamma (z;\rho )\,\!$ è detto coefficente di riflessione e gioca per A e B lo stesso ruolo che gioca Z per V ed I. $\rho \,\!$ è un parametro libero, la sua scelta opportuna permette di scrivere relazioni tra A e B per i bipoli passivi tali che b[n] sia indipendente da a[n]. Tali relazioni sono elencate di seguito per resistenza capacità induttanza e generatore resistivo.

Resistenza

L'impedenza è ovviamente:

$Z(z)=R\,\!$

Scegliendo $\rho =R\,\!$ si ottiene:

$\rho =R\,\!$

$\Gamma (z;\rho )=0\,\!$

$b[n]=0\,\!$

Condensatore

Usando la trasformazione bilineare:

$s\leftrightarrow {\frac {2}{T_{c}}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$

si ottiene per la trasformata ${\mathcal {Z}}$ dell'impedenza:

$Z(z)={\frac {T_{c}}{2C}}{\frac {1+z^{-1}}{1-z^{-1}}}$

da cui scegliendo $\rho ={\frac {T_{c}}{2C}}$ :

$\rho ={\frac {T_{c}}{2C}}\,\!$

$\Gamma (z;\rho )=z^{-1}\,\!$

$b[n]=a[n-1]\,\!$

Induttanza

Seguendo lo stesso ragionamento fatto per il condensatore abbiamo:

$Z(z)={\frac {2L}{T_{c}}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\,\!$

$\rho ={\frac {2L}{T_{c}}}\,\!$

$\Gamma (z;\rho )=-z^{-1}\,\!$

$b[n]=-a[n-1]\,\!$

Generatore resistivo

La relazione tra tensione ai capi del bipolo e corrente di ramo sarà:

$V(z)=E(z)+R\cdot I(z)\,\!$

scgliendo come per la resistenza $R=\rho \,\!$ otteniamo:

$\rho =R\,\!$

$\Gamma (z;\rho )=0\,\!$

$b[n]={\textrm {e}}[n]\,\!$

Adattatori

Il bipolo è un elemento a una porta; quando si connettono due porte 1 e 2, ad esempio due bipoli, si ha $a_{1}=b_{2}$ e $b_{1}=a_{2}$ se e solo se $\rho _{1}=\rho _{2}$. Se però la scelta delle impedenze di porta non è libera, sarà necessario inserire tra le due porte un elemento che adatti le impedenze.

L'adattatore è l'elemento (a n porte) che adatta le impedenze e gestisce le connessioni tra i bipoli in base alla loro connessione topologica. Le posizioni topologiche necessarie per descrivere ogni tipo di rete elettrica sono due: Serie e Parallelo.

serie

Fig. 1: Rappresentazione simbolica dell'adattatore serie di un filtro digitale ad onda. (a) Senza porta priva di riflessione (b) Con porta priva di riflessione

Dalle Leggi di Kirchhoff, per N bipoli connessi in serie si ha:

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{k=1}^{N}v_{k}=0\\i_{k}=i\quad \forall k\end{array}}\right.$

siano ora ${\tilde {a}}_{k}$ e ${\tilde {b}}_{k}$ le variabili d'onda del bipolo connesso alla $k^{esima}$ pora dell'adattatore, si possono definire le variabili d'onda di tale porta:

$\left\{{\begin{array}{l}a_{k}=v_{k}+\rho _{k}i_{k}\\b_{k}=v_{k}-\rho _{k}i_{k}\end{array}}\right.$

tali che se $\rho _{k}={\tilde {\rho }}_{k}\quad \Rightarrow \quad a_{k}={\tilde {a}}_{k},\quad b_{k}={\tilde {b}}_{k}\qquad \forall k.$ Con pochi passaggi si arriva a scrivere per l'adattatore serie:

$b_{k}=a_{k}-\gamma _{k}(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{N})$

$\gamma _{k}={\frac {2\rho _{k}}{\rho _{1}+\rho _{2}+\ldots +\rho _{N}}}$

Notiamo che se $\rho _{k}>0\quad \forall k\quad \Rightarrow \sum _{k=1}^{N}\gamma _{k}=2$, allora se ad esempio

$\rho _{1}=\sum _{k=2}^{N}\rho _{k}\,\!$

$(3)\,\!$

possiamo scrivere:

$\gamma _{1}=1\qquad \gamma _{k}={\frac {\rho _{k}}{\rho _{1}+\rho _{2}+\ldots +\rho _{N}}}\quad k\neq 1$

$b_{1}=-(a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{N})$

$(4)\,\!$

$b_{k}=a_{k}-\gamma _{k}(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{N})\qquad k\neq 1$

La (4) mostra che quando è valida la (3) l'uscita della porta 1 non dipende istantaneamente dal suo ingresso, ovvero la porta 1 è detta priva di riflessione istatanea.

parallelo

Fig. 2: Rappresentazione simbolica dell'adattatore parallelo di un filtro digitale ad onda. (a) Senza porta priva di riflessione (b) Con porta priva di riflessione

Quando N bipoli sono connessi in parallelo abbiamo:

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle v_{k}=v\quad \forall k\\\sum _{k=1}^{N}i_{k}=0\end{array}}\right.$

Seguendo lo stesso ragionamento fatto per gli adattatori serie possiamo scrivere:

$b_{k}=\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\ldots +\gamma _{N}a_{N}-a_{k}$

$\gamma _{k}={\frac {2g_{k}}{g_{1}+g_{2}+\ldots +g_{N}}}$

Dove $g_{k}=\rho _{k}^{-1}$ è l'inverso dell'impedenza della $k^{esima}$ porta. Anche per l'adattatore parallelo se $g_{k}>0\quad \forall k\quad \Rightarrow \sum _{k=1}^{N}\gamma _{k}=2$ , e quindi se:

$g_{1}=\sum _{k=2}^{N}g_{k}$

Otteniamo:

$\gamma _{1}=1\qquad \gamma _{k}={\frac {g_{k}}{g_{1}+g_{2}+\ldots +g_{N}}}\quad k\neq 1$

$b_{1}=\gamma _{2}a_{2}+\gamma _{3}a_{3}+\ldots +\gamma _{N}a_{N}$

$(5)\,\!$

$b_{k}=\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\ldots +\gamma _{N}a_{N}-a_{k}\qquad k\neq 1$

Porte prive di riflessione

Come mostrato dalle (4) e (5) quando l'impedenza di una delle porte è libera e $\rho _{k}>0\quad \forall k$, un adattatore (serie o parallelo) può avere una (ed una sola) porta priva di riflessione. La possibilità di costruire adattatori con porta priva di riflessione è fondamentale, infatti il tema centrale della teoria dei filtri digitali ad onda è l'eliminazione di cicli a ritardo nullo, che sarebbe impossibile se ad esempio si dovessero connettere tra loro due adattatori.

Il problema si risolve impostando una delle due porte che connettono due adattatori come priva di riflessione.

Utilizzo

La teoria dei filtri digitali ad onda può essere utilizzata per implementare la simulazione di una larga categoria di reti elettriche; attive o passive, lineari o non lineari. Inoltre si possono simulare tutti quegli eventi descritti da equazioni differenziali uguali a quelle di un circuito elettrico, ad esempio ,utilizzando l'Analogia elettro-meccanica, il moto di una massa collegata ad una molla (è descritto dalle stesse equazioni di un circuito rlc serie). I filtri digitali ad onda sono particolarmente indicati per simulare sistemi complessi grazie a notevoli caratteristiche quali la modularità e l'ottima stabilità rispetto alla quantizzazione dei segnali ed all'overflow.

Bibliografia

[1] Alfred Fettweis, "Digital filters related to classical structures," AEU: Archive für Elektronik und Übertragungstechnik, vol. 25, pp. 79-89, Feb 1971

[2] Alfred Fettweiss and Klaus Meerkötter. On adaptors for wave digital filters. IEEE Transaction on acoustics, Speech and Signal Processing, (6):516-524, December 1975.

[3] Alfred Fettweiss. Wave digital filters: Theory and practice. Proceedings of the IEEE, 74(2):270-327, February 1986

[4] Augusto Sarti e Giovanni De Poli. Toward nonlinear wave digital filters. IEEE Transaction on Signal Processing, 47(6):1654-1668, June 1999

Voci correlate

• circuito elettrico
• filtro (elettronica)
• Simulazione

${\vec {\mathbf {F} }}_{j}=-\sum _{i=0,i\neq j}^{N}{\frac {g\cdot m_{j}\cdot m_{i}}{r_{ji}^{2}}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}_{ji}$