Trasformata di Hankel

In matematica, la trasformata di Hankel è una trasformata integrale, per la prima volta sviluppata dal matematico Hermann Hankel, che esprime una data funzione $f(r)$ come una somma pesata di un numero infinito di funzioni di Bessel del primo tipo $J_{\nu }(kr)$ . È anche conosciuta come la trasformata di Fourier–Bessel. Le funzioni di Bessel del nucleo integrale sono tutte dello stesso ordine $\nu$ , ma differiscono nel fattore di scala $k$ lungo l'asse $r$ . Il coefficiente $F_{\nu }$ di ogni funzione di Bessel, visto come una funzione del fattore di scala $k$ , costituisce la trasformata di Hankel. La trasformata di Hankel è strettamente collegata con la serie di Fourier-Bessel, nello stesso modo in cui la trasformata di Fourier per un intervallo infinito è in relazione con la serie di Fourier su un intervallo finito.

Definizione

La trasformata di Hankel di ordine $\nu$ di una funzione $f(r)$ è data da

F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,

dove $J_{\nu }$ è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine $\nu$ , con $\nu \geq -1/2$ . La trasformata di Hankel inversa di $F_{\nu }(k)$ è definita come

f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,

che può essere verificata sfruttando la relazione di ortogonalità fra le funzioni di Bessel.

Dominio di definizione

L'inversione della trasformata di Hankel di una funzione $f(r)$ è valida in tutti i punti in cui $f(r)$ è continua, a patto che sia definita e continua a tratti in $(0,\infty )$ , a variazione limitata in ogni sottointervallo finito di $(0,\infty )$ e

\int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .

Tuttavia, in analogia con la trasformata di Fourier, si può estendere il dominio tramite un ragionamento sulla densità, includendo alcune funzioni per cui l'integrale precedente non è finito, come $f(r)=(1+r)^{-3/2}$ .

Definizione alternativa

Una definizione alternativa afferma che la trasformata di Hankel di $g(r)$ è ^[1]

h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.

Le due definizioni sono collegate:

Se

g(r)=f(r){\sqrt {r}}

, allora

h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.

Questo significa che, come per la precedente definizione, la trasformata di Hankel definita in questo modo è la sua stessa inversa:

g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.

Il dominio ora ha la condizione

\int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,

ma può essere esteso. Secondo de Branges, si può prendere l'integrale come il limite con l'estremo superiore che tende all'infinito (un integrale improprio invece di un integrale di Lebesgue), e in questo modo la trasformata di Hankel e la sua inversa sono definite per ogni funzione in L²(0, ∞).

Ortogonalità

Le funzioni di Bessel formano una base ortogonale se pesate con la funzione $r$ :^[2]

\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.

Il teorema di Plancherel e di Parseval

Se le funzioni $f(r)$ e $g(r)$ possiedono trasformate di Hankel $F_{\nu }(k)$ e $G_{\nu }(k)$ ben definite, allora il teorema di Plancherel afferma che

\int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.

Il teorema di Parseval, che afferma

\int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,

è un caso speciale del teorema di Plancherel. Questi teoremi si possono dimostrare utilizzando la proprietà di ortogonalità.

Relazioni con altre trasformate

Relazione con la trasformata di Fourier (simmetria circolare)

La trasformata di Hankel di ordine zero è essenzialmente la trasformata di Fourier in 2 dimensioni di una funzione a simmetria circolare.

Si consideri una funzione bidimensionale $f(\mathbf {r} )$ del raggio vettore $r$ . La sua trasformata di Fourier è

F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .

Senza perdita di generalità, si può scegliere un sistema di coordinate polari $(r,\theta )$ in modo che il vettore $\mathbf {k}$ giaccia sull'asse $\theta =0$ (nel K-spazio). La trasformata di Fourier si scrive ora in queste coordinate come

F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r,

dove $\theta$ è l'angolo tra i vettori $\mathbf {k}$ e $\mathbf {r}$ . Se la funzione $f$ è a simmetria circolare, non ha nessuna dipendenza dalla variabile angolare $\theta$ e può essere scritta come $f(r)$ . Si può così portare fuori dall'integrazione su $\theta$ , e in questo caso la trasformata di Fourier diventa

F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)\,r\,\mathrm {d} r,

che è esattamente la trasformata di Hankel di ordine zero di $f(r)$ . Analogamente per la trasformata inversa,

f(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi }}\iint F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {k} =\int _{0}^{\infty }F(k)J_{0}(kr)\,k\,\mathrm {d} k,

quindi $f(r)$ è la trasformata di Hankel di ordine zero di $F(k)$ .

Relazione con la trasformata di Fourier (simmetria radiale in n dimensioni)

Per una trasformata Fourier n-dimensionale,

F(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{n}\mathbf {r} ,

Se la funzione $f$ è a simmetria radiale, allora^[3]

k^{\frac {n-2}{2}}F(k)=\int _{0}^{\infty }r^{\frac {n-2}{2}}f(r)J_{\frac {n-2}{2}}(kr)\,r\,dr.

Relazione con la trasformata di Fourier (caso generale in due dimensioni)

Per generalizzare, se $f$ può essere espansa in una serie di multipoli,

f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta },

e se $\theta _{k}$ è l'angolo tra la direzione di $\mathbf {k}$ e l'asse $\theta =0$ , allora

{\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f_{m}(r)e^{im\theta }e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,e^{im\varphi }e^{-ikr\cos \varphi }&&(\varphi =\theta -\theta _{k})\\&=\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)i^{-m}J_{m}(kr)\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}F_{m}(k),\end{aligned}}

dove $F_{m}(k)$ è la trasformata di Hankel di ordine $m$ di $f_{m}(r)$ .

Funzioni all'interno di un raggio limitato

Inoltre, se $f_{m}$ è sufficientemente liscia vicino all'origine e è zero fuori da una palla di raggio $R$ , allora può essere espansa nella serie di Čebyšëv:

f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{mt}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R.

Sostituendola nell'ultima equazione della sezione precedente si ottiene

{\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}

dove l'ultima uguaglianza segue da §6.567.1 di ^[4]. Questo è un caso molto più generale di quello trattato nella precedente sezione. L'aspetto numerico importante è che i coefficienti $f_{mt}$ si possono ricavare con le tecniche della trasformata di Fourier discreta.

Questo è un assaggio della trasformata di Hankel veloce.

Relazione con le trasformate di Fourier e di Abel

In due dimensioni, se si definisce $A$ come l'operatore della trasformata di Abel, $F$ come l'operatore della trasformata di Fourier, e $H$ come la trasformata di Hankel di ordine zero, allora il caso particolare del teorema di proiezione-taglio per le funzioni a simmetria circolare afferma che

FA=H.

In altre parole, applicare la trasformata di Abel a una funzione in una dimensione e farne successivamente la trasformata di Fourier è equivalente a applicare la trasformata di Hankel alla funzione. Questo concetto si può estendere a tutte le dimensioni.

Trasformata di alcune funzioni particolari

^[5]

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$1$	${\frac {\delta (k)}{k}}$
${\frac {1}{r}}$	${\frac {1}{k}}$
$r$	$-{\frac {1}{k^{3}}}$
$r^{3}$	${\frac {9}{k^{5}}}$
$r^{m}$	${\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}$
${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$	${\frac {e^{-k\|z\|}}{k}}$
${\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}$	$K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C}$
${\frac {e^{iar}}{r}}$	${\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a$
${\frac {e^{iar}}{r}}$	${\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a$
$e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}$	${\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}$
${\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}$	${\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}$
$-r^{2}f(r)$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}$

$f(r)$	$F_{\nu }(k)$
$r^{s}$	${\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}$
$r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)$	${\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)$
$e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})$	${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)$
$r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}$	esprimibile in termine degli integrali ellittici.^[6]
$-r^{2}f(r)$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$