Soluzione fondamentale

In matematica, una soluzione fondamentale per un operatore differenziale lineare alle derivate parziali $L$ è una formulazione nel più recente linguaggio delle distribuzioni della precedente idea di funzione di Green.

Si tratta della soluzione $F(x,y)$ di un'equazione differenziale lineare $Lf(x)=0$ (avente come coefficienti funzioni lisce) che soddisfa:

$LF(x,y)=\delta (x-y)\qquad y\neq x$

dove $\delta (x)$ è la delta di Dirac, $y\in \mathbb {R} ^{n}$ è fissato e $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Ogni equazione a coefficienti costanti ammette una soluzione fondamentale, e dunque ogni equazione ellittica.

Nella teoria dei segnali, l'analogo della soluzione fondamentale di un'equazione differenziale è la risposta impulsiva di un filtro.

Esempio

Si consideri $Lf=\sin(x)$ con:

$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$

La soluzione fondamentale può essere ottenuta risolvendo $LF=\delta (x)$, ovvero:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta (x)$

Dal momento che:

${\frac {d}{dx}}H(x)=\delta (x)$

dove $H$ è la funzione gradino di Heaviside, si ha una soluzione:

${\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C$

con $C$ una costante arbitraria. Per convenienza, si pone $C=-1/2$.

Dopo aver integrato $dF/dx$, ponendo nulla la nuova costamte di integrazione si ha:

$F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|$

Si può allora trovare la soluzione dell'equazione di partenza facendo la convoluzione di $\sin(x)$ con la soluzione fondamentale $F(x)=|x|/2$:

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)dy$

Bibliografia

• (EN) A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall (1964)
• (EN) O.A. Ladyzhenskaya, N.N. Ural'tseva, "Linear and quasilinear elliptic equations" , Acad. Press (1968)
• (EN) O.A. Ladyzhenskaya, V.A. Solonnikov, N.N. Ural'tseva, "Linear and quasilinear parabolic equations" , Amer. Math. Soc. (1968)

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Distribuzione (matematica)
• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Funzione di Green
• Risposta impulsiva

Collegamenti esterni

• (EN) Soluzione fondamentale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.