Proprietà dell'integrale di Riemann

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Allora:

$\int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Dimostrazione

Dalla definizione si ha che:

$\int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}{\Big (}\alpha f(t_{i})+\beta g(t_{i}){\Big )}(x_{i+1}-x_{i}),$

da cui:

$\int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}{\Big (}\alpha \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}){\Big )}.$

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

$\int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\alpha \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$

da cui discende la proprietà di linearità.

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

Dimostrazione

Dalla definizione si ha che

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$

da cui se si ha $c\in [a,b]$ esiste, eventualmente affinando la partizione, un intero $h$ tale che $0\leq h\leq n$ e $x_{h}=c,$ da cui risulti:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\left(\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right),$

e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$

da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ in $[a,b]$. Allora:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Dimostrazione

Infatti se si ha che $f(x)\leq g(x)$ nel compatto $[a,b]$, effettuando una partizione di tale compatto (ovviamente la disuguaglianza permane), per ogni $i=0,\ldots ,n-1,$ si ottiene:

$f(t_{i})\leq g(t_{i}),$

da cui

$f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$

A questo punto, poiché la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto, vale:

$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

$\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto

Sia $f$ una funzione integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.$

Dimostrazione

Essendo valida la relazione

$-|f(t_{i})|\leq f(t_{i})\leq |f(t_{i})|,$

per ogni $i=0,\ldots ,n-1,$ di una partizione di $[a,b]$, è possibile moltiplicare ogni membro per il fattore $(x_{i+1}-x_{i})$

$-|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq |f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}),$

e sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

$-\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}).$

Applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

$-\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i});$

$-\int _{a}^{b}|f(x)|dx\leq \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx.$

Quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

$\left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,$

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.