Partizione di un intervallo

In matematica la partizione di un intervallo reale è un insieme di punti dell'intervallo che lo dividono in sottointervalli. Il concetto di partizione è usato per definire numerosi concetti come l'integrale di Riemann e la lunghezza di un arco.

Se l'intervallo è $I=[a,b]$ la partizione di $I$ è un insieme $\rho =\{t_{i}\}_{i=0}^{n}$

$\rho =\{t_{i}\in [a,b]:a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\}$

La partizione dell'intervallo $I$ definisce in modo naturale dei sottointervalli di $I$, come ad esempio:

$I_{0}=[t_{0},t_{1}),I_{1}=[t_{1},t_{2}),\ldots ,I_{n-1}=[t_{n-1},t_{n})$

che costituiscono una particolare partizione dell'insieme $[a,b]$. Appare chiaro che le ampiezze dei singoli intervalli ($\Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}$) non devono necessariamente essere uguali.

Ampiezza di una partizione

L'ampiezza (o mesh) della partizione $\rho$ è definita come:

$|\rho |=\max _{1\leq i\leq n}\Delta t_{i}=\max _{1\leq i\leq n}(t_{i+1}-t_{i})$

L'ampiezza di una partizione è usata nelle somme di Riemann.

Relazioni tra partizioni

Due partizioni si possono anche confrontare: una partizione $\pi '$ è più fine di un'altra $\pi$ se i punti di $\pi$ sono tutti presenti fra quelli di $\pi '$, cioè se:

$\pi \subseteq \pi '.$

Si dice che $\pi '$ è un raffinamento di $\pi$. Inoltre è evidente che se si uniscono i punti di due partizioni la nuova partizione così ottenuta è più fine, o al minimo fine allo stesso modo, delle precedenti. Tale relazione si indica con $\left.\ {\pi '}\right\}\pi$. Ovviamente vale:

$|\rho (\pi ')|\leq |\rho (\pi )|$

che giustifica il nome "raffinamento".

Esempio

Dato l'intervallo $[0,10]$ una partizione può essere $\{0,2,6,10\}$, un raffinamento $\{0,1,2,5,6,7,10\}$. L'ampiezza della prima partizione è 4, del raffinamento 3.

Voci correlate

• Integrale di Riemann
• Integrale di Riemann-Stieltjes