Numero di Leonardo

I numeri di Leonardo sono una sequenza di numeri dati dalla relazione:

$L(n):={\begin{cases}1&{\mbox{se }}n=0;\\1&{\mbox{se }}n=1;\\L(n-1)+L(n-2)+1&{\mbox{se }}n>1.\\\end{cases}}$

Edsger W. Dijkstra li ha utilizzati come parte integrante del suo algoritmo di ordinamento Smoothsort, analizzandoli anche in alcuni dettagli.

Essi sono legati ai numeri di Fibonacci dalla relazione $L(n)=2*F(n+1)-1,n\geq 0$. Data la formula tipo Binet:

$L(n)=2*\left({\frac {\Phi ^{(n+1)}-\phi ^{(n+1)}}{\Phi -\phi }}\right)-1=\left({\frac {2}{\sqrt {5}}}\right)*(\Phi ^{(n+1)}-\phi ^{(n+1)})-1$

dove $\Phi =(1+{\sqrt {5}})/2$ e $\phi =(1-{\sqrt {5}})/2$ sono le radici di $x^{2}-x-1=0$

I primi numeri di Leonardo sono:

$1,\;1,\;3,\;5,\;9,\;15,\;25,\;41,\;67,\;109,\;177,\;287,\;465,\;753,\;1219,\;1973,\;3193,\;5167,\;8361,\ldots$