Lemma di Thue

Il lemma di Thue, chiamato così dal matematico norvegese Axel Thue, è un lemma della teoria dei numeri che afferma che, per ogni numero primo p e per ogni intero $a\not \equiv 0\mod p$, la congruenza

$ax\equiv y\mod p$

(dove $\equiv$ indica l'operazione modulo).

ammette una soluzione $(x_{0},y_{0})$ tale che $0<|x_{0}|<{\sqrt {p}},~0<|y_{0}|<{\sqrt {p}}$.

Può essere usato per dimostrare il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati.

Dimostrazione

Consideriamo i numeri ax - y (modulo p) tali che

$0\leq x\leq [{\sqrt {p}}],~~0\leq y\leq [{\sqrt {p}}]$

dove [a] indica la funzione parte intera di a (ovvero il più grande intero non maggiore di a). Questi valori sono in numero di $([{\sqrt {p}}]+1)^{2}>({\sqrt {p}}-1+1)^{2}=p$. Quindi esistono due coppie $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ tali che $ax_{1}-y_{1}\equiv ax_{2}-y_{2}\mod p$; inoltre $x_{1}\neq x_{2}$, perché altrimenti si avrebbe

${\begin{cases}ax_{1}-y_{1}\equiv c\mod p\\ax_{1}-y_{2}\equiv c\mod p\end{cases}}$

e quindi $y_{1}\equiv y_{2}$ e le coppie non sarebbero distinte. Consideriamo l'espressione

$a(x_{1}-x_{2})-(y_{1}-y_{2})=(ax_{1}-y_{1})-(ax_{2}-y_{2})$

Questa è palesemente congrua a 0 modulo n. $x_{1}-x_{2}$ è la differenza tra due quantità minori di $[{\sqrt {p}}]$, e quindi è essa stessa minore di $|{\sqrt {p}}|$. Allo stesso modo $y_{1}-y_{2}<{\sqrt {p}}$. Quindi ponendo

$x_{0}=x_{1}-x_{2},~~y_{0}=y_{1}-y_{2}$

si ha la coppia desiderata.

Bibliografia

• David M. Burton, Elementary Number Theory, McGraw-Hill, 2007, ISBN 9780073051888