Equazione del trasporto
In matematica, l'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, utilizzata in particolare per descrivere i fenomeni di trasporto, come la trasmissione del calore o lo scambio di materia.
Formulazione[modifica | modifica wikitesto]
L'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali lineare, che, nel caso di coefficienti costanti, assume la forma:[1]
dove è il gradiente e
è la funzione incognita nelle variabili posizione e tempo , mentre ed è il termine sorgente, che condivide con dominio e codominio.
Soluzione per l'equazione omogenea[modifica | modifica wikitesto]
L'equazione del trasporto omogenea ha la forma:
L'equazione esprime il fatto che esiste una derivata direzionale di nulla, ovvero in tutto lo spazio-tempo la funzione incognita è sempre costante in una certa direzione.[2]
Si consideri il generico punto e si definisca la funzione:
con reale.
Il differenziale di tale funzione è:
Essendo:
la derivata totale rispetto a è:
L'annullarsi è dovuto alla linearità dell'equazione omogenea, e quindi è una funzione costante nella variabile . Questo significa che è una funzione costante in ogni punto nella direzione : tale direzione è una retta se è costante, ed è parametrizzata da . Conoscendo il valore di lungo tale direzione, in particolare, si conosce il valore di in tutto il dominio.[2]
Si ponga come condizione al contorno che nel punto si abbia , con nota. La direzione di interseca il piano quando , e quindi:
da cui segue che:
Se è una funzione differenziabile, la soluzione è in senso classico.
Soluzione per l'equazione non omogenea[modifica | modifica wikitesto]
Il termine sorgente è detto anche forzante, mentre la condizione iniziale impone che nel punto si abbia . Questi assunti costituiscono i dati del problema, che per essere ben posto richiede che la soluzione sia unica e dipendente con continuità da tali dati.[3]
Si ponga, come nel caso della soluzione per l'equazione omogenea:
Si ha:
Dal momento che:
si ottiene:[1]
e quindi, considerando il terzo ed il quinto termine:
La procedura utilizzata, che permette di convertire l'equazione alle derivate parziali in un'equazione differenziale ordinaria, è un caso particolare del metodo delle caratteristiche.
Note[modifica | modifica wikitesto]
Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
- Equazione di Boltzmann
- Equazione differenziale alle derivate parziali
- Fenomeni di trasporto
- Metodo delle caratteristiche
Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Joan Remski - The Transport Equation: An Application of Directional Derivatives, su www-personal.umd.umich.edu.
- (EN) Paul DuChateau - The Transport Equation (PDF), su math.colostate.edu.