Discussione:Dominio euclideo

Dubbio, proveniente dal mio vecchio libro di Algebra dell'Università (E. Gallo, "Algebra", 1985). A me risulta che:

a) La funzione di valutazione ha in più il requisito di essere moltiplicativa (v(a)v(b) = v(ab) dove a sinistra abbiamo il prodotto di numeri reali e a destra il prodotto dell'anello), e soprattutto il requisito di essere uguale a 0 se e solo se l'elemento valutato è lo zero additivo dell'anello euclideo (una cosa che suona un po' alla lontana come la condizione delle metriche, o quella delle forme definite positive).

b) coerentemente con questo, la valutazione che viene effettuata sui polinomi non è quella che associa ad ogni polinomio il suo grado, ma 2 elevato al suo grado, con la convenzione che 2^(-infinito) = 0. Il che è coerente con la convenzione di assegnare al polinomio nullo non il grado 0 (scardinerebbe l'idea che per un prodotto di polinomi si fa la somma dei gradi), ma il grado (-infinito), che ho visto anche in altri libri.

Vi risulta?— Questo commento senza la firma utente è stato inserito da 87.4.217.91 (discussioni · contributi) 11:01, 15 dic 2012‎ (CET).[rispondi]

Effettivamente da qualche parte viene definito assumendo anche la moltiplicatività della norma, ma in genere nei libri più recenti mi sembra che la condizione sia omessa. Scavando un po', ho trovato questo articolo sulle varie definizioni di dominio euclideo, che però non si sofferma sul problema, trattandolo di passaggio - e non assumendo la moltiplicatvità.

Visto inoltre che la moltiplicatività non serve per le proprietà della divisione euclidea, suppongo che sia stata silenziosamente eliminata. A naso, inoltre, potrebbe essere che assumere anche la moltiplicatività dia origine a una classe un po' più piccola di anelli, ma non ho esempi (anzi, queste dispense lo definiscono un "major open problem"). Continuo comunque a cercare qualche nota storica un po' più informativa--Dr ζimbu (msg) 13:27, 15 dic 2012 (CET)[rispondi]

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