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La radice
-esima,
di un numero reale
non negativo, è la soluzione reale non negativa dell'equazione
![{\displaystyle x^{n}=A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb596f90c572ea4bb188399518beba0df11fd57)
In questa voce è descritto un metodo numerico, che converge velocemente, per il calcolo di questa radice. I passi dell'algoritmo sono:
- si prova a stimare un valore iniziale di partenza
![{\displaystyle x_{0};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a09f6cb1dd57f5aa8f0abd1a5b79aca507a6501)
- si pone
che equivale a
con ![{\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left({\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e44742669bb5c4e5d44f7c8e24ddae4c65f2347)
- si ripete il secondo passo fino a che si raggiunge la precisione desiderata, cioè
![{\displaystyle |\Delta x_{k}|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a21fbff306213bf5832cf26e4d61cc9523600f0)
Un caso speciale è il calcolo numerico della radice quadrata, cioè il caso
:
![{\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{\frac {A}{x_{k}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc6ea982efd8c978165c691e25b5b5f7acd5e9d)
La derivazione dell'algoritmo si basa sul metodo numerico di Newton-Raphson.
Il metodo delle tangenti o di Newton-Raphson è un metodo per trovare numericamente lo zero di una funzione
Lo schema generale è:
- partire da una stima iniziale
![{\displaystyle x_{0};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a09f6cb1dd57f5aa8f0abd1a5b79aca507a6501)
![{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18d429e5a28192cce35e14fcff50b56a5d32971)
- ripetere il secondo passo fino a che si raggiunga la precisione desiderata.
Il calcolo numerico della radice
-esima si può concepire come la ricerca di uno zero della funzione
la cui derivata è:
![{\displaystyle f^{\prime }(x)=nx^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffdb8b097c51ec9c8714252b07ae4d18fa086fa)
In questo modo si costruisce l'iterazione:
![{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea5aa9e4b0a39382df25ae50dd18549802007a)
![{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a27defaa8b07f41954fbf554ea83266f8066ad5)
![{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52a515602f4eb054244c39f1cda5a1980ab5dcc)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e6a755735bd3f8cc92ccbb63e3136b03e50b6f)
Si vuole calcolare la radice quarta di
Si imposta un primo valore, ad esempio 1000. Utilizzando un foglio di calcolo si può verificare una veloce convergenza:
Foglio di calcolo esemplificativo. Il numero di cui si vuole calcolare la radice è nella casella A1=
e l'esponente
della radice nella casella A2.
Si pone la stima iniziale, 1000, nella casella B2.
I valori vengono generati inserendo nella casella B3: (($A$2–1)*B2+$A$1/B2^($A$2–1))/$A$2
6901827461
|
stima
|
valore calcolato
|
differenza
|
4
|
1000
|
1E+12
|
-9,93098E+11
|
|
751,7254569
|
3,19328E+11
|
-3,12426E+11
|
|
567,8559656
|
1,03981E+11
|
-97078880593
|
|
435,3149815
|
35909921459
|
-29008093998
|
|
347,4029409
|
14565787245
|
-7663959784
|
|
301,7054079
|
8285760564
|
-1383933103
|
|
289,1072856
|
6986121665
|
-84294203,78
|
|
288,235197
|
6902208103
|
-380642,2278
|
|
288,2312231
|
6901827469
|
-7,871785164
|
|
288,231223
|
6901827461
|
0
|
- Kendall E. Atkinson, An introduction to numerical analysis, 2nd, New York, Wiley, 1989, ISBN 0-471-62489-6.