In matematica, per fattoriale crescente o decrescente di
con
fattori si intende, rispettivamente un prodotto della forma
(
fattori crescenti inizianti da
);
(
fattori decrescenti inizianti da
).[1]
Qui
denota un intero naturale, mentre
può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).
Utilizzando una delle notazioni utilizzata abbiamo[2]:
fattoriale crescente;
fattoriale decrescente.
Esistono anche notazioni alternative da utilizzare con cautela perché diversamente interpretate da diversi autori come la notazione
detta simbolo di Pochhammer[1] usata da alcuni per il fattoriale decrescente[3] da altri per quello crescente.
Per
fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè
![{\displaystyle x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b3c866e78df62dee2bea1e848c8594066d585b)
Nel caso
numero intero non negativo[4], con riferimento a simboli comunemente usati nel calcolo combinatorio, si ha:
(disposizioni senza ripetizione);
(disposizioni senza ripetizione);
(combinazioni senza ripetizioni);
(combinazioni con ripetizioni).
Iniziando dai polinomi di primo grado i primi cinque casi del fattoriale decrescente sono:
![{\displaystyle x^{\underline {1}}=x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331480da476ddc37b21c7417d212a7853692dcb0)
![{\displaystyle x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d249331b0e23cef1ae964ac1d16da9adb6f5df)
![{\displaystyle x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2ec30e327b4612157fc71df5128fc2181ad015)
![{\displaystyle x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced5718e4d230b3f9377a9827bb11d4702cacabc)
![{\displaystyle x^{\underline {5}}=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^{5}-10x^{4}+35x^{3}-50x+24.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46009cf7ba8c4118d276706630c9a8bc3dc161c4)
I primi cinque di quello crescente sono:
![{\displaystyle x^{\overline {1}}=x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230959f1812debb05d942ebe6a0d0f38cf5ec6dc)
![{\displaystyle x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0957b93f272fc5f66acfdc55be49a8d74077fc35)
![{\displaystyle x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324333da99ee8dbdb7c6efef82fa2206ac714ccc)
![{\displaystyle x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931a7aa2baa98441933f77d7f68ab190a2b74c5e)
![{\displaystyle x^{\overline {5}}=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=x^{5}+10x^{4}+35x^{3}+50x+24.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a076ef790e2e8d43c7a80531243fe823858b365)
Utilizzando vettori e matrici possiamo esprimere i due casi precedenti scrivendo:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\underline {1}}\\x^{\underline {2}}\\x^{\underline {3}}\\x^{\underline {4}}\\x^{\underline {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0\\2&-3&1&0&0\\-6&11&-6&1&0\\24&-50&35&-10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f150daf2c71d9fa1d58ee7c3896568c5b074480)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\overline {1}}\\x^{\overline {2}}\\x^{\overline {3}}\\x^{\overline {4}}\\x^{\overline {5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\2&3&1&0&0\\6&11&6&1&0\\24&50&35&10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995328882477227b154eb2d518c1e7f5250d221c)
Esplicitando il secondo vettore attraverso le matrici inverse si ottiene:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&3&1&0&0\\1&7&6&1&0\\1&15&25&10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{\underline {1}}\\x^{\underline {2}}\\x^{\underline {3}}\\x^{\underline {4}}\\x^{\underline {5}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13219f9896e534d3749d22931b049e157e2ce46d)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\x^{2}\\x^{3}\\x^{4}\\x^{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0\\1&-3&1&0&0\\-1&7&-6&1&0\\1&-15&25&-10&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{\overline {1}}\\x^{\overline {2}}\\x^{\overline {3}}\\x^{\overline {4}}\\x^{\overline {5}}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b41551c94aad762e26bc901f67c25283af0dff6)
Le matrici dell'esempio, facilmente generalizzabile ad un qualsiasi numero di polinomi, contengono i numeri di Stirling di prima e seconda specie, alternati e no. Gli elementi di questi quattro triangoli di Stirling si possono ottenere con regole ricorsive simili a quella di Stiffel relativa al triangolo di Tartaglia [3]
I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile
e le due successioni
per
e
per
come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti
, formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi
giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la
![{\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2afef181553573b18f4595cf996cbe730f3143)
e la
![{\displaystyle Dx^{k}=kx^{k-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e8b74045d06b9d4b02563574c2978cb7b3b46b)
dove
denota la derivata rispetto alla variabile
. La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.
- ^ a b (EN) Eric W. Weisstein, Fattoriale crescente, in MathWorld, Wolfram Research.
- ^ (EN) Ronald L. Graham, Donald E. Knuth e Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1989, ISSN 9780201142365 (WC · ACNP), OCLC 17649857.
- ^ a b Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elementi di matematica discreta, Bologna, Zanichelli, 1988, pp. 6-24, ISBN 978-88-08-03858-6.
- ^ In caso contrario si può usare la funzione gamma che generalizza il fattoriale