Relazione d'ordine

In matematica, più precisamente in teoria degli ordini, una relazione d'ordine su di un insieme è una relazione binaria tra elementi appartenenti all'insieme che gode delle seguenti proprietà:

• riflessiva
• antisimmetrica
• transitiva.

Si definisce insieme parzialmente ordinato (oppure ordine) la coppia costituita da un insieme e da una relazione d'ordine su di esso. Le relazioni d'ordine si indicano spesso con i simboli $\leq$, $\subseteq$,  $\sqsubseteq$ e $\preccurlyeq$.

In lingua inglese un insieme parzialmente ordinato è anche detto concisamente poset (Partially Ordered Set), e questo termine è usato gergalmente anche nella lingua italiana.

Definizione

Dati due insiemi $A$ e $B$, il loro prodotto cartesiano è l'insieme delle coppie ordinate definito nel modo seguente:

$A\times B:=\{(a,b):a\in A\;\mathrm {e} \;b\in B\}\$

Si definisce relazione binaria $R$ su un insieme $A$ un sottoinsieme di $A\times A$. Due elementi $x$ e $y$ sono messi in relazione da $R$ se:

$(x,y)\in R\$

ed in tal caso si scrive $xRy$.

Una relazione d'ordine $\leq$ è una relazione binaria tra elementi di un insieme $A$ riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Esplicitamente, tale relazione soddisfa le seguenti proprietà:

$x\leq x\quad \forall x\in A$

$x\leq y$ e $y\leq x$ implica $x=y\quad \forall x,y\in A$

$x\leq y$ e $y\leq z$ implicano $x\leq z\quad \forall x,y,z\in A$

Le relazioni d'ordine si indicano spesso con i simboli $\leq$, $\subseteq$, $\sqsubseteq$ e $\preccurlyeq$.

La coppia $(O,\leq )$ costituita da un insieme e da una relazione d'ordine su di esso si dice insieme parzialmente ordinato o semplicemente ordine, da non confondere con il termine più specifico insieme totalmente ordinato.

Primi esempi

Esempi ben noti di insiemi parzialmente ordinati sono:

• gli insiemi numerici $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ muniti della relazione d'ordine totale standard $aRb\Leftrightarrow a\leq b$,
• l'insieme $\mathbb {N} \backslash \{0\}$ munito della relazione di divisibilità $aRb\Leftrightarrow a|b$ (cioè $a$ è un divisore di $b$)
• Una qualunque famiglia di insiemi munita della relazione di inclusione $aRb\Leftrightarrow a\subseteq b$ (cioè $a$ è sottoinsieme di $b$)

  Ordine largo e ordine stretto

  Alcuni autori definiscono relazione d'ordine stretto una relazione $(O,<)$ che soddisfi le proprietà irriflessiva, antisimmetrica e transitiva (o, equivalentemente e più concisamente, le proprietà asimmetrica e transitiva), e quindi chiamano relazione d'ordine largo la relazione d'ordine $(O,\leq )$. L'ordine stretto mira a concentrarsi sulla asimmetria della relazione, non considerando la riflessività.

Proposizione

Una relazione d'ordine è asimmetrica se e solo se è irriflessiva.

Benché le due definizioni siano distinte, il loro studio non presenta grosse differenze, in quanto tra le due classi di relazioni sussiste una corrispondenza biunivoca molto semplice.

Sia $O$ un insieme e denotiamo con $\,\Delta (O)$ la diagonale di $\,O\times O$, cioè $\ \Delta (O):=\{(x,x):x\in O\}$, allora ad ogni relazione d'ordine largo $(O,\leq )$ è associata la relazione d'ordine stretto $\,(O,(\leq )\setminus (\Delta (O)))$; viceversa ad ogni relazione d'ordine stretto $(O,<)$ è associata la relazione d'ordine largo $\,(O,\;(<)\;\cup \;(\Delta (O)))$.

Digrafo di un ordine

Grafo della relazione di divisibilità

Se l'insieme $S$ è finito o numerabile la relazione d'ordine si può rappresentare visivamente mediante un digrafo (risp. finito o numerabile) i cui nodi sono gli elementi di $S$ e tale che due nodi $a$ e $b$ sono connessi da un arco se e solo se $a\leq b$ e non ci sono elementi intermedi tra di loro (cioè non esiste nessun $c\neq a,b$ tale che $a\leq c$ e $c\leq b$). Il grafo di una relazione d'ordine non può avere cicli, mentre può avere più componenti connesse e da ogni suo nodo può entrare ed uscire qualsiasi numero di archi; se il grafo è numerabile da un nodo possono entrare o uscire infiniti archi (questo è il caso della relazione di divisibilità).

Ordini semplici, lineari e totali

Due elementi $a$ e $b$ di un insieme parzialmente ordinato $\,(O,\leq )\,$ si dicono confrontabili se accade che $a\leq b$ oppure che $b\leq a$.

In generale due elementi di una relazione d'ordine parziale possono non essere confrontabili, cioè non sono necessariamente in relazione. Ad esempio in $\mathbb {N} \backslash \{0\}$ munito della relazione di divisibilità gli elementi 2 e 3 non sono in relazione (nessuno dei due è divisore dell'altro) e vi sono coppie di sottoinsiemi di un dato ambiente tali che si trovano elementi del primo non appartenenti al secondo e viceversa, per cui nessuno dei due è sottoinsieme dell'altro.

Un insieme si dice un ordine semplice, ordine lineare, oppure Ordine_totale se per ogni $a,b\in O$ $a$ e ${\textstyle b}$ sono confrontabili (ossia vale $a\leq b$ oppure $b\leq a$).

Il Digrafo di un insieme totalmente ordinato si può rappresentare come un segmento o una retta o una semiretta su cui giacciono tutti i nodi (corrispondenti a tutti gli elementi dell'insieme) ed è questo il motivo per cui viene chiamato ordine semplice.

Catene e anticatene

Facciamo riferimento ad un ordine (poset)  $(O,\leq )$.

Si dice catena ogni sottoinsieme Y di S tale che la relazione d'ordine ridotta a Y costituisce un ordine semplice.

Per l'insieme parzialmente ordinato della divisibilità sono catene gli insiemi delle potenze positive di un numero primo e più in generale i sottoinsiemi ottenuti con un processo che inizia considerando un intero positivo e prosegue aggiungendo ad ogni passo un multiplo dell'intero aggiunto in precedenza. Si possono considerare catene finite o infinite; il processo precedente può essere finito o illimitato.

Si dice invece anticatena dell'insieme parzialmente ordinato $(O,\leq )$ un sottoinsieme di S i cui elementi sono mutuamente inconfrontabili.

Una anticatena dell'insieme parzialmente ordinato delle divisibilità è fornita dall'insieme dei numeri primi.

Intervalli e intervalli stretti

Sia $(O,\leq )$ un ordine (poset) e $a\leq b$, allora si dice:

• intervallo di $a$ e $b$ l'insieme $\,[a,b]=\{x\in O|a\leq x\leq b\}$;

• intervallo semistretto a destra  di $a$ e $b$ l'insieme $\,[a,b[=\{x\in O|a\leq x<b\}=[a,b]-\{b\}$

• intervallo semistretto a sinistra di $a$ e $b$ l'insieme $\,]a,b]=\{x\in O|a<x\leq b\}=[a,b]-\{a\}$

• intervallo stretto di $a$ e $b$ l'insieme $\,]a,b[=\{x\in O|a<x<b\}=[a,b]-\{a,b\}$.

Segmenti iniziali e finali

Sia $(O,\leq )$ un insieme ordinato (poset) e $S\subseteq O$, allora $S$ si dice:

• segmento iniziale    $O$ se Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle x \in S \land y \leq x  \Rightarrow y \in S} ;

• segmento finale'    '$O$se $x\in S\land x\leq y\Rightarrow y\in S$.

Maggiorante e minorante

Sia $(O,\leq )$ un ordine (poset) e  $\emptyset \neq S\subseteq O$. Allora:

si dice che un elemento $y\in O$ è un maggiorante di $S$ se $\forall x\in S,\ x\leq y$.

Analogamente, in modo duale, un elemento $y\in O$ si definisce un minorante di un insieme $S$ se  $\forall x\in S,\ y\leq x$.

Se $S$ ammette almeno un maggiorante (minorante) allora si dice che $S$ è un sottoinsieme limitato superiormente (inferiormente).

Un sottoinsieme che possiede sia maggioranti che minoranti si dice limitato d'ordine.

Elementi massimali e minimali

Sia $(O,\leq )$ un ordine.

Si dice che $m$ è l'elemento minimo di $O$ se esiste un $m\in O$ tale che $\forall a\in O,\ m\leq a$.

Dualmente si definisce elemento massimo di $O$ un $M\in O$ tale che $\forall a\in O,\ a\leq M$.

L'elemento di massimo e l'elemento di minimo di $O$ si indicano rispettivamente come max $O$ e min $O$.

Spesso quando abbiamo a che fare con ordini non semplici è utile definire altri due concetti: quello di elemento minimale e massimale.

• $m$ si dice elemento minimale di $O$ se $a\in O,\ a\leq m\;\Rightarrow \;a=m$;

• $M$ sarà invece un elemento massimale se $a\in O,\ M\leq a\;\Rightarrow \;a=M$.

In generale, massimo ed elemento massimale non sono la stessa cosa. Si pensi a $\{2,3,4,5,6\}$ fornito della relazione di divisibilità. Esso non ammette né massimo né minimo, ma per esempio 3 è un elemento minimale, poiché $x|3$ è soddisfatto solo per $x=3$. Si presti attenzione inoltre che l'elemento 3 non può essere massimale. Se così fosse, allora 3 non dividerebbe nessun altro elemento dell'insieme, ma $3|6$ che dimostra l'assurdità della asserzione dato che $3\neq 6$. Addirittura 5 è sia elemento massimale che minimale, poiché non è in relazione con nessun altro elemento dell'insieme diverso da se stesso. Dall'esempio è facile intuire che le due definizioni (massimo ed elemento massimale; minimo e elemento minimale) coincidono in presenza di un ordine semplice.

Estremo superiore ed inferiore

Sia $(O,\leq )$ un ordine (poset) e sia  $\emptyset \neq S\subseteq O$. Definiamo:

$M_{S}=\{x\in O|{x}\;{e'}\;{maggiorante}\;{di}\;S\}$;

$m_{s}=\{x\in O|{x}\;{e'}\;{minorante}\;{di}\;S\}$.

Allora un elemento $x\in O$ si dice:

• estremo superiore di $S$ (indicato con ${sup}\;S$)  $\min M_{S}$;

• estremo inferiore di $S$ (indicato con ${inf}\;S$)  $\max m_{S}$.

Osserviamo che chiaramente non è detto che esistano poiché dato un sottoinsieme non è detto che ammette minimo o massimo.

Prodotto cartesiano di ordini

Il prodotto cartesiano di due insiemi parzialmente ordinati può essere munito anch'esso di un ordine in più modi:

• secondo il criterio dell'ordine lessicografico

• secondo il confronto "termine a termine" $(a_{1},b_{1})\leq (a_{2},b_{2})$ se $a_{1}\leq a_{2}$ e $b_{1}\leq b_{2}$ (l'ordine così formato è detto il prodotto diretto dei due ordini)

• secondo la relazione $(a_{1},b_{1})\leq (a_{2},b_{2})$ se $a_{1}<a_{2}\wedge b_{1}<b_{2}$ o $a_{1}=a_{2}\wedge b_{1}=b_{2}$Se i due ordini sono semplici, lo è anche l'ordine lessicografico, ma non necessariamente gli altri due.

Funzioni monotone, antitone

Siano $(O,\leq )$ e $(P,\preccurlyeq )$ due ordini e sia $f\colon O\to P$.

$f$ si dice monotona se $x\leq y\Rightarrow f(x)\preccurlyeq f(y)$ per ogni x,y in $P$.

$f$ si dice antitona se $x\leq y\Rightarrow f(x)\succcurlyeq f(y)$ per ogni x,y in $P$.

Ordinamenti ben fondati

Una relazione d'ordine su un insieme $A$ si dice ben fondata o buon ordinamento se ogni sottoinsieme $Y$ $\subseteq$ $S$ non vuoto è dotato di minimo, ossia esiste un elemento $a\in A$ tale che $a\leq x\quad \forall x\in A.$

Un tipico esempio di buon ordinamento è quello che stabilisce la relazione d'ordine standard sull'insieme $\mathbb {N}$ dei numeri naturali. L'affermazione che i naturali sono un insieme ben ordinato, ovvero che ogni sottoinsieme $X$ di $\mathbb {N}$ ha un minimo viene talvolta chiamata Principio del buon ordinamento e si può dimostrare essere equivalente al Principio di induzione.

Il teorema del buon ordinamento

Il teorema del buon ordinamento (da non confondere con il principio del buon ordinamento) asserisce che su ogni insieme non vuoto può essere definita una relazione d'ordine ben fondata (o buon ordinamento). Tale enunciato è equivalente all'assioma della scelta (cioè assumendolo vero si può dimostrare l'assioma della scelta e viceversa).

Curiosità

Se l'insieme $S$ è un insieme numerico con cardinalità maggiore di uno ($|S|>1$) allora scegliendo un suo sottoinsieme $S_{2}\subseteq S$ con cardinalità pari a 2 ($|S_{2}|=2$), si può definire il minimo tra i due soli elementi, $a$ e $b$ con la seguente relazione:

$\min\{a,b\}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} ^{-}}(a-b)\cdot (a-b)+b$

Il massimo tra i due elementi si trova invece con la seguente espressione

$\max\{a,b\}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} ^{+}}(a-b)\cdot (a-b)+b$

Dove con $\mathbf {1}$ si è indicata la funzione indicatrice.

Bibliografia

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Insieme totalmente ordinato
• Relazione d'ordine reticolare e reticolo (matematica)
• Insieme ordinato graduato
• Ordine denso
• Arborescenza, o albero con radice
• Teoria dei grafi
• Inversione di Moebius-Rota
• Relazione di equivalenza
• Preordine
• Estremo superiore
• Condizione della catena ascendente
• Gruppo ordinato, campo ordinato, spazio vettoriale ordinato