Teoria del caos

Attrattore di Lorenz

Fumo di un fiammifero acceso

La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali. I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure sono in grado di esibire una empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche. Questo comportamento casuale è solo apparente dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.

Teoria

Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche:

• Sensibilità alle condizioni iniziali, ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno (o, genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite in uscita. Come esempio banale: il fumo di più fiammiferi accesi in condizioni macroscopicamente molto simili (pressione, temperatura, correnti d'aria) segue traiettorie di volta in volta molto differenti.
• Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema su tempi lunghi rapportati al tempo caratteristico del sistema a partire da assegnate condizioni al contorno.
• L' evoluzione del sistema è descritta, nello spazio delle fasi, da innumerevoli orbite ('traiettorie di stato'), diverse tra loro con evidente componente stocastica agli occhi di un osservatore esterno, e che restano tutte confinate entro un certo spazio definito: il sistema cioè non evolve verso l'infinito per nessuna variabile; si parla in questo caso di attrattori o anche di caos-deterministico.

Le caratteristiche sopra esposte sono in generale tutte necessarie per definire il sistema caotico.

Ad esempio la mappa lineare di tipo ricorsivo:

$x_{(n+1)}=2x_{n}\,$

è sensibile alle condizioni iniziali (due valori di $x$ leggermente diversi si evolvono divergendo e aumentando la loro distanza), ma il suo andamento è prevedibile e le variabili evolvono verso l'infinito, cioè dopo un numero sufficientemente alto di passaggi $x_{n}$ diviene maggiore quanto vogliamo. Quindi non ha un comportamento caotico.

Mentre la mappa non-lineare sempre di tipo ricorsivo:

$x_{(n+1)}=4x_{n}(1-x_{n})\,$

è sensibile alle condizioni iniziali, non ha andamento prevedibile e, per valori di $x$ iniziali tra 0 e 1, rimane confinata in uno spazio finito (tra 0 e 1), quindi esibisce un comportamento caotico. Questa semplice equazione viene chiamata mappa logistica, e descrive matematicamente la crescita di una popolazione nel tempo. Il fatto che il valore di $x_{n},$ sia limitato indica il fatto che una qualunque popolazione non può crescere indefinitamente, dal momento che ha a disposizione una quantità di risorse necessariamente limitata.

Dal punto di vista dell'orbita del sistema nello spazio delle fasi, un sistema caotico presenta spesso una dinamica caratterizzata da un attrattore strano, ma ciò non è da considerarsi una regola assoluta. Ad esempio la seconda mappa lineare presentata sopra non è caratterizzata da un attrattore strano, in quanto nello spazio delle fasi l'orbita può non essere infinita ma ciclica (mentre un attrattore strano ha sempre orbita di infinita lunghezza). Così pure il sistema caotico del "gatto di Arnold" ha orbite cicliche e non infinite. Una caratteristica peculiare di un sistema caotico, sebbene deterministico, è l'apparente impredicibilità delle traiettorie del sistema, dovuta alla forte sensibilità rispetto alle condizioni iniziali: un piccolo errore nella conoscenza dello stato del sistema in un certo istante può provocare un errore anche grande nelle previsioni a medio e lungo termine.

Un sistema caotico autonomo è necessariamente non lineare. Inoltre, se il tempo varia con continuità, lo spazio degli stati deve avere dimensione almeno 3; per i sistemi a tempo discreto, invece, è sufficiente un'unica variabile di stato.

Comportamenti caotici si incontrano in meteorologia (attrattore di Lorentz), climatologia, fluidodinamica (turbolenza), teoria del laser, ecologia.

Esempi di modelli matematici di sistemi dinamici:

• Sistemi discreti
  • mappa logistica
  • attrattore di Hénon
  • mappa di Poincaré
• Sistemi continui
  • doppio pendolo
  • attrattore di Lorenz
  • attrattore di Rössler

Attrattore strano

L'attrattore di Lorenz mostra un andamento caotico. Questi due plot dimostrano la sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali all'interno di una regione dello spazio delle fasi chiamata attrattore.

Qualche sistema dinamico, come la mappa logistica monodimensionale definita da x → 4 x (1 – x), mostra comportamenti caotici che si estendono in tutto spazio delle configurazioni, tuttavia è possibile che l'andamento caotico sia confinato solo in certe regioni di esso. Il caso di maggior interesse sorge quando un largo insieme delle configurazioni iniziali tende a convergere in una delimitata regione di spazio, l'attrattore, dove avvengono fenomeni caotici.

La regione di spazio delimitata dall'attrattore può avere dimensione intera, ma sorprendentemente questa non è l'unica possibilità. L'attrattore strano è un attrattore con dimensione di Hausdorff non intera. La dimensione degli attrattori è difficile da calcolare analiticamente e spesso viene stimata con simulazioni al computer. Per esempio la dimensione di Hausdorff dell'attrattore generato dalla mappa di Hénon è uguale a 1.26.

Un modo semplice per visualizzare un attrattore caotico consiste nel partire con un punto nel bacino di attrazione dell'attrattore e quindi seguire la conseguente traiettoria. Dato che è valida la condizione di transitività topologica, questo equivale a produrre una immagine dell'intero attrattore finale. Un esempio famoso di questo attrattore è quello di Lorenz, la sua forma somiglia a quella di una farfalla.

Al contrario dei punti fissi, cioè attrattori monodimensionali, e dei cicli limite, con due dimensioni o più, gli attrattori che emergono dai sistemi caotici sono ricchi di dettagli e complessità e somigliano spesso a dei frattali. Strutture frattaliche possono emergere anche considerando la forma e il bordo di un bacino di attrazione di un attrattore, come ad esempio l'insieme di Julia.

Applicazioni

La teoria del caos si applica in molte discipline scientifiche: matematica, fisica, chimica, biologia, dinamica di popolazione, informatica, geologia, ingegneria, economia, finanza, filosofia, politica, psicologia, e robotica.

La teoria del caos viene attualmente applicata anche allo studio medico dell'epilessia e specificamente alla predizione di attacchi apparentemente casuali attraverso l'osservazione delle condizioni iniziali.

Applicazione nella finanza

La teoria del caos è stata anche utilizzata nelle critiche al Capital asset pricing model (CAPM). Il CAPM basa i suoi principi sul modello del mercato efficiente (IME), mentre la Teoria del caos contesta i principi di questo modello e la figura dell'investitore razionale, e soprattutto che il prezzo di un titolo sconti immediatamente tutte le informazioni che pervengono dal titolo stesso.

Secondo i teorici gli investitori non reagiscono alle informazioni man mano che le ricevono, ma hanno memoria dei fatti passati, di quello che è accaduto. I mercati funzionano secondo un'ottica dinamica e non lineare. Viene contestato anche l'indice beta, per le difficoltà che incontra da solo a misurare il rischio di un titolo. Troppi sono i fattori che possono inficiarlo e le diverse modalità di calcolo complicano ancora di più la questione. Viene proposta l'esigenza di avere altri indicatori, come l'indicatore h che distingue una serie causale da una normale. Se ha valore uguale a 0,5 è causale, se maggiore sarà di tipo non normale.

La teoria del caos nei media e nella fiction

Il termine "Teoria del caos" ha colpito parte dell'immaginario collettivo ed è entrata a far parte della cultura pop, insieme all'effetto farfalla. Nella grande maggioranza dei lavori seguenti (ma non in tutti) la teoria del caos è rappresentata soprattutto come negazione del determinismo e/o in relazione all'effetto farfalla. Questo (inteso come l'influenza di fatti minimi sul corso degli eventi) era già rappresentato in un racconto di Ray Bradbury, Rumore di tuono, pubblicato nel 1952 e quindi antecedente alla teoria. Questo racconto viene da taluni ritenuto tra i "precursori". Un ulteriore rilevante riferimento letterario è poi il romanzo di Joyce Finnegans wake, per la creazione del neologismo caosmosi, concetto poi molto utilizzato nella filosofia contemporanea e estremamente interessante per la sua possibile funzionalizzazione teorica.

Nella lista si citano opere che fanno riferimento alla teoria del caos e affini.

Film

«Ho fatto cortocircuito»

(Ian Malcolm ad Ellie Sattler, a Jurassic Park, uno dei film)

• Hardware: metallo letale (Hardware), 1990
• Jurassic Park, 1993
• Smoking/No Smoking, 1993
• π - Il teorema del delirio (π), 1998
• Lola Corre, 1998
• Sliding Doors, 1998
• The Butterfly Effect, 2004
• Match Point, 2005
• Il risveglio del tuono (A Sound of Thunder, 2005)
• V per Vendetta, 2005
• The Butterfly Effect 2, 2006
• La ragazza che saltava nel tempo, 2006, anime diretto da Mamoru Hosoda e prodotto dalla MADHOUSE
• Caos, 2005
• The Oxford Murders - Teorema di un delitto, 2008
• Heroes - L'effetto farfalla; 3ª Stagione, 2ª Puntata, 2009
• Scrubs - Medici ai primi ferri - La mia farfalla; 3ª Stagione, 16ª Puntata, 2004
• Black hole high-Robot; 1ª stagione, 12ª puntata.
• S. Darko, 2009
• La teoria del caos (Chaos Theory); CSI: Scena del crimine, Seconda Stagione, Episodio 2, 2001
• Il curioso caso di Benjamin Button;
• Mr. Nobody di Jaco Van Dormael

Narrativa

• Finnegans Wake di James Joyce
• Jurassic Park e Il mondo perduto (The Lost World) di Michael Crichton
• Uomini vuoti di Dan Simmons
• La sindrome di Wolverton di Alan D. Altieri
• E se covano i lupi di Paola Mastrocola
• La teoria del caos di Sara Boero

Teatro

• Tom Stoppard: "Arcadia" (un resoconto fittizio delle prime ricerche e di quelle contemporanee; vedi anche termodinamica e determinismo).

Fumetti

• Ade Capone, Marco Abate, Stefano Natali: "Il Lemma di Levemberg", nella serie "Lazarus Ledd" (giugno 1996). Il soggetto della storia è al tempo stesso un plot d'azione e un teorema di matematica.
• xxxHolic, Tsubasa Chronicle, le serie parlano di avventure in mondi paralleli. La maga che permette ciò ha come simbolo una farfalla.
• Fausto Vitalino, Marco Gervasio, Marco Mazzarello: "Zio Paperone in: Missione Effetto Farfalle", pubblicata su Topolino n. 2796 del 30 giugno 2009.
• Pierre Schelle: "la teoria del caos" (Agosto 2003), Magic Press comics

Videogiochi

• Tom Clancy: Splinter Cell:Chaos Theory
• Clive Barker: Clive Barker's Jericho
• Assassin's Creed
• Secret Agent Clank (in un livello con il capitano Quark si sente una canzone di sottofondo riguardante la teoria del caos)

Bibliografia

• Badii R., Politi A., Complexity: hierarchical structures and scaling physics, Cambridge University Press, 1997
• Bergé P., Pomeau Y., Vidal C., L'ordre dans le chaos : vers une approche déterministe de la turbulence, Herrmann, 1984
• Bertagna A., Il controllo dell'indeterminato. Potemkin villages e altri nonluoghi, Quodlibet, Macerata 2010
• Bertuglia C. S., Vaio F., Non linearità, caos, complessità, Torino, Bollati Boringhieri, 2003
• Bischi G. I., Carini R., Gardini L., Tenti P., Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici, Mondadori, 2004
• Coli M., Ercolani A., Falco G. Modelli di sistemi dinamici ed evoluzione verso il caos. Ingegneria 2000, 2001 ISBN 88-86658-14-1
• Deleuze, G., Guattari, F., Dal caos al cervello, in Che cos'è la filosofia?, Torino, Einaudi, 1996
• De Toni A. F., Comello L., Prede o ragni, Torino, Utet Libreria, 2005
• De Toni A. F., Comello L., Viaggio nella complessità, Venezia, Marsilio Editori, 2007
• Ekeland Ivar, Il Caos. Milano, il Saggiatore, 1997
• Gleick James : Caos. La nascita di una nuova scienza, BUR Biblioteca Univ. Rizzoli 2000
• Hao Bai-Lin, Chaos II, an introduction and reprints volume (update of Chaos (1984)), World Scientific Publishing Co., 1990
• Ott Edward, Chaos in Dynamical systems, Cambridge University Press, 1993
• Schuster Heinz Georg and Just Wolfram Deterministic Chaos. An Introduction, Wiley-VCH, Berlin, 2005 ISBN 3-527-40415-5
• Smith Leonard, Caos, ed. Codice, 2008
• Vulpiani Angelo, Determinismo e Caos, Roma, La Nuova Italia Scientifica, 1994

Voci correlate

• Causalità
• Istituto dei Sistemi Complessi
• Consiglio Nazionale delle Ricerche
• Effetto farfalla
• Teorema di Sarkovsky
• Teoria della complessità
• Transizione al caos

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Il caos da mathworld.wolfram.com
• Centro Interdipartimentale per lo Studio delle Dinamiche Complesse Firenze
• (EN) Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems Dresda
• (EN) Caos and Complexity University Study (CACTUS) Group Catania
• Che caos! I sistemi climatico e solare visti come sistemi caotici