Teorema di disintegrazione

In matematica, in particolare nell'ambito della teoria della misura e della teoria della probabilità, il teorema di disintegrazione definisce rigorosamente l'idea di una restrizione non banale della misura a un sottoinsieme di misura nulla dello spazio di misura che si utilizza.

La "disintegrazione" può essere vista come la procedura inversa alla costruzione della misura prodotto.

Enunciato

Sia $P(X)$ una collezione di misure di probabilità di Borel su uno spazio metrico $(X,d)$. Siano inoltre $Y$ e $X$ due spazi di Radon (ovvero spazi metrici separabili sui quali ogni misura di probabilità è una misura di Radon). Considerando una delle misure di probabilità $\mu \in P(Y)$, sia $\pi :Y\to X$ una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel e $\nu \in P(X)$ la misura push-forward $\nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}$.

Allora esiste quasi ovunque una famiglia di misure di probabilità $\{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq P(Y)$ tale che:

• la mappatura $x\mapsto \mu _{x}(B)$ è una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel per ogni insieme $B\subseteq Y$ misurabile rispetto alla relativa misura di Borel;
• $\mu _{x}$ assume valori non nulli sulla fibra $\pi ^{-1}(x)$, ovvero per quasi tutti (rispetto a $\nu$) gli $x\in X$ si ha:

$\mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0$

e dunque:

$\mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))$

• per ogni funzione Borel-misurabile $f:Y\to [0,\infty ]$ si ha:

$\int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\mathrm {d} \nu (x)$

In particolare, per ogni evento $E\subseteq Y$, assumendo che $f$ sia la funzione indicatrice di $E$ si ha:

$\mu (E)=\int _{X}\mu _{x}\left(E\right)\,\mathrm {d} \nu (x)$

Bibliografia

• (EN) Dellacherie, C. & Meyer, P.-A., Probabilities and potential, North-Holland Mathematics Studies, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1978.
• (EN) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2005, ISBN 3-7643-2428-7.
• (EN) J.T. Chang e Pollard, D., Conditioning as disintegration (PDF), in Statistica Neerlandica, vol. 51, n. 3, 1997, p. 287, DOI:10.1111/1467-9574.00056.

Voci correlate

• Insieme nullo (teoria della misura)
• Misura (matematica)
• Misura di Radon
• Misura prodotto
• Misura push-forward

Collegamenti esterni

• (EN) L. Schwartz - Lectures on Disintegration of Measures (PDF), su math.tifr.res.in.
• (EN) Ben Hayes - Disintegration of measures (PDF), su math.ucla.edu. URL consultato il 4 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 7 giugno 2014).